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Gleichung der Zeit - Gleig.

hält nun zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Hat man diese nach dem obigen Verfahren berechnet, so setzt man ihre Werte in die eine der drei gegebenen Gleichungen ein, welche nun z liefert.

Sind vier Gleichungen mit den Unbekannten x, y, z, u gegeben, so eliminiere man zunächst u dreimal und erhält nun drei Gleichungen mit den Unbekannten x, y, z. Man erkennt leicht, daß immer so viel Gleichungen vorhanden sein müssen wie Unbekannte; diese Gleichungen müssen aber voneinander unabhängig sein, d. h. es darf nicht die eine aus den andern folgen, und sie dürfen einander nicht widersprechen. Sind mehr Unbekannte vorhanden als Gleichungen, so wird die Aufgabe unbestimmt; ihre Auflösung fällt der unbestimmten Analytik zu. Bei der Anwendung der Mathematik auf Physik, Astronomie, Geodäsie etc. kommt man häufig auf Systeme von Gleichungen mit weniger Unbekannten, als die Anzahl der Gleichungen ist. Diese Gleichungen sind aber, weil sie Beobachtungsresultate enthalten, nur annäherungsweise richtig. Wie man aus ihnen die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten berechnet, lehrt die Methode der kleinsten Quadrate, ein Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Auflösung der Gleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten. Kommt in einer quadratischen G. nur die zweite, nicht die erste Potenz der Unbekannten vor, so heißt sie eine rein quadratische. Man löst sie, indem man zuerst das Quadrat der Unbekannten berechnet und dann die Quadratwurzel auszieht, welche positiv und negativ zu nehmen ist. Aus 5x² - 115 = 2x² + 32 erhält man zunächst 5x² - 2x² = 32 + 115 oder 3x² = 147, daraus x² = 49 und hieraus x = ±7. - Kommt außer der zweiten auch die erste Potenz der Unbekannten vor, so heißt die G. eine gemischt quadratische. Bringt man die unbekannten Glieder auf die linke Seite, die bekannten auf die rechte und vereinigt soweit wie möglich, so erhält die G. die Form

ax² + bx = c,

wo a, b, c bekannte Zahlen sind. Die Division mit a gibt

x² + (b / a)x = c / a.

Fügt man auf beiden Seiten das Quadrat von (1 / 2) . (b / a) hinzu, so entsteht

x² + (b / a) . x + (1 / 4) . (b² / a²) = (c / a) + (1 / 4) . (b² / a²) = (4ac + b²) / (4a²).

Hier ist aber die linke Seite ein vollständiges Quadrat, und man kann schreiben

(x + (1 / 2) . (b / a)) = (4ac + b²) / (4a²), ^[richtig: (x + (1 / 2) . (b / a))² = (4ac + b²) / (4a²),]

woraus durch Ausziehen der Quadratwurzel folgt

x + (1 / 2) . (b / a) = ±(1 / 2a) sqrt(4ac + b²)

und mithin

x = -(b / 2a) ± (1 / 2a) sqrt(4ac + b²).

Jede quadratische G. hat also zwei Lösungen oder Wurzeln. Ist 4ac + b² negativ, so ist die Quadratwurzel eine imaginäre Größe, und x selbst besteht dann aus einem reellen und einem imaginären Gliede; die beiden Lösungen sind sogen. komplexe Größen. Sind zwei Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten gegeben, so muß man die eine Unbekannte eliminieren. Dadurch kommt man im allgemeinen auf eine G. vom vierten Grad. In Bezug auf die Lösung der Gleichungen dritten, vierten und höhern Grades muß auf die ausführlichen Lehrbücher der Algebra verwiesen werden. Hier mag nur noch erwähnt werden, daß jede G. mit einer Unbekannten so viele Wurzeln (Lösungen) hat, als ihr Grad angibt; doch kann sich darunter eine gerade Anzahl von komplexen Wurzeln befinden. Gleichungen von höherm als vom vierten Grad kann man nicht mehr in geschlossener Form durch algebraische Ausdrücke lösen; wohl aber kann man die Wurzeln numerischer Gleichungen stets mit beliebiger Genauigkeit annäherungsweise berechnen.

Gleichung der Zeit, s. Zeitgleichung.

Gleichung des Mittelpunktes (Mittelpunktsgleichung), in der Astronomie der Unterschied zwischen der wahren und mittlern Anomalie (s. d.) eines Planeten oder Kometen; sie ist eine Folge davon, daß der Planet (Komet) sich nicht mit konstanter Geschwindigkeit in einem Kreis um die Sonne bewegt, sondern in einer Ellipse nach dem zweiten Keplerschen Gesetz. Sie bildet die sogen. erste Ungleichheit, die schon Hipparch durch die Annahme zu erklären versuchte, daß die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in einem exzentrischen Kreis von statten gehe.

Gleichung des Mondes, jährliche, eine Ungleichheit der Länge des Mondes, welche bis auf 11 1/5° wachsen kann, und deren Periode ein anomalistisches Jahr (s. Jahr) ist; sie wurde von Tycho Brahe entdeckt.

Gleichung, persönliche, eine zuerst durch astronomische Beobachtungen entdeckte Unvollkommenheit der menschlichen Sinne, infolge deren zwei gleichzeitige Erscheinungen nicht genau in demselben Moment durch Gesicht und Gehör wahrgenommen werden können, sondern nacheinander zum Gehör gelangen. Von zwei Beobachtern, die unter übrigens ganz gleichen Verhältnissen den Durchgang eines Sterns durch den Meridian beobachten, bemerkt der eine diesen Moment in Bezug auf den Pendelschlag etwas früher, der andre etwas später. Dieser Unterschied wird die p. G., die Personalgleichung oder der persönliche Fehler beider Beobachter genannt und ist nicht zu verwechseln mit den zufälligen Beobachtungsfehlern, denn er bleibt, wenigstens eine Zeitlang, ziemlich konstant und erreicht selbst zwischen geübten Beobachtern, deren einzelne Bestimmungen für sich alle fast genau übereinstimmen, bisweilen über ½ Sekunde. Man kann, worauf zuerst Arago aufmerksam machte, die p. G. sehr verringern, wenn die Beobachter bloß den Antritt des Sterns an die Fäden des Meridianinstruments bestimmen, sich aber um die Uhrschläge nicht weiter kümmern, sondern statt dessen diesen Moment durch den Druck auf einen Knopf mit Hilfe eines Chronographen fixieren. Vgl. Physiologische Zeit und Registrierapparate.

Gleig (spr. glegg), George Robert, engl. Schriftsteller, geb. 20. April 1796 zu Stirling in Schottland als Sohn eines Bischofs, erhielt seine Bildung zu Glasgow und Oxford, trat dann ins Militär und machte 1813 den Feldzug in Spanien, 1814 den in Amerika mit, wo er bei der Einnahme von Washington schwer verwundet ward. Nach Oxford zurückgekehrt, vollendete er seine Studien, wurde 1822 zum Curate von Ash, dann zum Rektor von Ivychurch (in Kent) ernannt, 1844 Kaplan am Chelseahospital, 1846 Generalkaplan der Armee und, nachdem er einen Erziehungsplan für die Soldaten ausgearbeitet, Generalinspektor der Militärschulen und Pfründner von St. Paul. 1875 zog er sich in den Ruhestand zurück. Seine erste schriftstellerische Leistung war das unter-^[folgende Seite]