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Meyers Konversationslexikon

Autorenkollektiv, Verlag des Bibliographischen Instituts, Leipzig und Wien, Vierte Auflage, 1885-1892

Schlagworte auf dieser Seite: Geometrie

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Geometrie (Geschichte).

einmal in Bezug auf die Größe, das andre Mal in Bezug auf die Lage, so erhält man einerseits eine G. des Maßes (der metrischen Relationen), anderseits eine G. der Lage. Erstere war bis ins 17. Jahrh. die einzig gepflegte, und erst von da ab begann man auch den zweiten Zweig zu kultivieren, welcher wohl auch als neuere, projektivische, organische G. bezeichnet wird. In neuester Zeit pflegt man wohl auch eine besondere "G. der Anzahl" abzutrennen, zu deren Charakterisierung folgendes Beispiel dienen möge: in einer Ebene sind n willkürlich gezogene gerade Linien gegeben, in wieviel Punkten durchschneiden sich dieselben? Alle Fragen, welche sich auf den Zusammenhang der räumlichen Gebilde beziehen, pflegen in eine besondere Disziplin vereinigt zu werden, die sogen. Analysis situs. Was die Einteilung der G. in eine niedere oder elementare und höhere betrifft, so ist dieselbe nicht prinzipiell, sondern nur durch pädagogische Gründe gerechtfertigt. Erstere behandelt in der Ebene die gerade Linie und den Kreis, letztere alle übrigen krummen Linien. Im Raum sind analog die Ebene, die Kegel-, Cylinder- und Kugelfläche der elementaren Betrachtung zugänglich, alle andern Oberflächen sowie die Kurven doppelter Krümmung aber Objekte der höhern G. Was nun schließlich die Methoden anlangt, mit deren Hilfe man die Eigenschaften der Raumgrößen zu erforschen bestrebt ist, so unterscheidet man eine synthetische und eine rechnende oder analytische G. Die synthetische verwirft grundsätzlich alle Hilfsmittel des Kalküls und bedient sich allein der Konstruktion; da sich auf diese Weise die von der Größe unabhängigen Beziehungen besonders leicht studieren lassen, so trägt die G. der Lage einen streng synthetischen Charakter. Im Raum wird eine rein konstruktive Behandlung der komplizierten gestaltlichen Verhältnisse halber oft sehr schwierig, und man bedient sich dann, um die Anschauung zu erleichtern, eines eignen geometrischen Wissenszweigs, der sogen. deskriptiven (beschreibenden oder darstellenden) G. oder Projektionslehre, welche die Betrachtung räumlicher auf diejenige ebener Gebilde reduziert. Hierher gehören: die Perspektive, die Projektion auf zwei senkrechte Ebenen (darstellende G. im engern Sinn), die Axonometrie etc. Die synthetische G. kam besonders durch die klassischen Arbeiten der griechischen Mathematiker zu Ehren, welche ausschließlich in diesem Sinn arbeiteten und sogar jeden arithmetischen Satz in geometrischer Form darzustellen liebten. Ganz anders war das Verfahren der Inder, welche sich um Lagebeziehungen gar nicht kümmerten und die G. als ein Anhängsel der Arithmetik behandelten. Ihnen verdankt die rechnende G. ihre Entstehung, welche, von den Arabern wesentlich gefördert, im 16. und 17. Jahrh. die Synthese fast ganz verdrängte. - Man unterscheidet in der Regel eine algebraische und eine analytische G., obwohl dieser Unterschied ein rein konventioneller ist. Erstere hat die allgemeine Aufgabe zu lösen, aus den bekannten Stücken einer Figur die noch nicht bekannten zu berechnen und die Bedingungen festzustellen, unter welchen eine solche Berechnung möglich ist. Befinden sich unter diesen Stücken Winkel, so muß auf eine Hilfswissenschaft, die Trigonometrie (s. d.), zurückgegriffen werden, welche in einem vorbereitenden Teil, der sogen. Goniometrie, die Beziehungen normiert, nach welchen Winkel und Längen verglichen werden können. Was die Trigonometrie für das Dreieck ist, das sind Polygonometrie und Polyedrometrie für das ebene Polygon und für das Polyeder. Die algebraische G. besitzt zur Auflösung der ihr gestellten Probleme allerdings gewisse ein für allemal feststehende Formeln, nicht aber einen unveränderlichen Mechanismus, welchem sich jeder spezielle Fall ohne weiteres einordnen ließe. Einen solchen hat aber die analytische G. in ihren Koordinatensystemen (vgl. Koordinaten). Sie eignet sich besonders zur Untersuchung der krummen Linien und Oberflächen, so daß man häufig die Begriffe "analytische G. der Ebene" und Kurvenlehre als identisch betrachtet.

Der theoretischen G. steht die praktische gegenüber, welche sich mit der Anwendung auf wirklich vorhandene Gegenstände beschäftigt. Gewöhnlich rechnet man die Ausmessung und Berechnung von Flächen und Körpern nicht zur praktischen G., sondern bezieht jene ausschließlich auf solche Objekte, welche in Einer Ebene liegen. Sobald jedoch die auszumessenden Flächen eine Größe erreichen, welche es nötig macht, die Krümmung der Erdoberfläche zu berücksichtigen, tritt an die Stelle der gewöhnlichen praktischen G. die höhere, die Geodäsie (s. d.).

Geschichte der Geometrie.

Die Erfindung der G. verliert sich in die vorhistorische Zeit. Jedenfalls war sie zunächst ausschließlich empirisch betriebene Feldmeßkunst, und erst allmählich sah man die Notwendigkeit ein, ihr ein theoretisches Fundament zu geben. Über die Art und Weise, wie sich dieser Fortschritt vollzog, gibt uns in interessantester Weise die G. der Ägypter Aufschluß, welche wir teils aus Denkmalsinschriften, teils aus überlieferten Papyrusrollen (darunter besonders der hochwichtige Papyrus Rhind, das vollständige Vademekum eines Feldmessers des 4. Jahrtausends v. Chr.) ziemlich genau kennen. Neben dieser praktischen G. bildete sich in den Priesterschulen des Nillandes eine wissenschaftliche Raumlehre heran, wie denn von verschiedenen alten Autoren die geometrische Richtung des ägyptischen im Gegensatz zu der arithmetischen des babylonischen Volkes ausdrücklich hervorgehoben wird. Als dann in den griechischen Stämmen der wissenschaftliche Trieb erwachte, stellte sich die Notwendigkeit heraus, die benachbarten orientalischen Kulturländer zu besuchen und dort sich so viel Wissen anzueignen, als nationale Engherzigkeit gestatten wollte. So lernte im 7. Jahrh. v. Chr. Thales von Milet in Ägypten Sonnenfinsternisse vorherbestimmen und eignete sich eine Reihe elementarer geometrischer Lehrsätze an, mit deren Hilfe er für den Hafen seiner Vaterstadt einen einfachen Distanzmesser konstruierte. Nach ihm waren es die ionischen Philosophen, welche die G. pflegten und erweiterten. Vor allen aber ist Pythagoras zu nennen (568-470). Zur Zeit des Peloponnesischen Kriegs gab Hippokrates von Chios die erste Quadratur einer krummlinigen Figur (der sogen. Monde), löste das Problem der zwei mittlern Proportionallinien und schrieb zuerst Elemente der G. Ungefähr um dieselbe Zeit behandelten die Sophisten Antiphon und Bryson das Problem der Kreisquadratur in ganz rationeller Weise. Platon (429-348), welcher keinen der G. Unkundigen zu seinen Vorlesungen zulassen wollte, suchte der jungen Disziplin die ihr noch fehlende systematische Grundlage zu geben und schuf oder förderte doch wesentlich die Lehre vom Irrationalen und von den Kegelschnitten. Unter seinen unmittelbaren Nachfolgern ragen besonders hervor Hippias, der für die Aufgabe von der Kreisquadratur eine eigne transcendente Kurve, die Quadratrix, ersann, sowie Menächmos und Aristäos. Das 3. Jahrh. v. Chr. ist die eigentliche Blütezeit der hellenischen