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Gleichung.

sten Potenz der Unbekannten. Es ist beispielsweise 5x - 4 = 3x + 16 eine G. des ersten Grades oder eine lineare G., 2x² - 18x = 28 eine G. zweiten Grades oder eine quadratische G.; die Gleichungen dritten Grades heißen auch kubische, diejenigen vierten Grades biquadratische Gleichungen. Mit einer G. kann man folgende Veränderungen vornehmen: 1) Man kann auf jeder Seite dieselbe Größe addieren und subtrahieren. Man kann daher auch ein Glied von der einen auf die andre Seite bringen (transponieren), wenn man ihm das entgegengesetzte Vorzeichen gibt; statt 5x - 4 = 3x + 16 kann man also schreiben 5x - 3x = 16 + 4 oder 2x = 20. 2) Man kann jede Seite mit einer und derselben Größe multiplizieren oder dividieren. Statt 2x = 20 kann man also, indem man mit 2 dividiert, schreiben x = 10, und statt (3x - 5) / (2x + 7) = 4 kann man, mit 2x + 7 multiplizierend, setzen 3x - 5 = 4 (2x + 7). Auf diese Weise kann man alle Nenner aus einer G. entfernen. 3) Man kann beide Seiten auf dieselbe Potenz erheben. Mittels dieser Regel läßt sich eine irrationale G. rational machen. Hat man z. B. die G. ax + √(b+cx) = d, so isoliert man zunächst die Wurzelgröße, indem man ax auf die rechte Seite bringt, und erhebt dann beide Seiten auf die zweite Potenz, wodurch man b + cx² = (d - ax)² oder b + cx² = d² - 2adx + a²x² erhält. 4) Man kann auf beiden Seiten dieselbe Wurzel ausziehen; wenn also x³ = 64 ist, so ist x = ∛(64) oder x = 4. Mittels dieser vier Regeln kann man die Gleichungen der ersten vier Grade mit einer Unbekannten auflösen, d. h. die Werte der in ihnen vorkommenden Unbekannten berechnen. Man nennt diese Werte auch die Wurzeln der Gleichungen.

Auflösung der Gleichungen ersten Grades mit Einer Unbekannten. Zunächst führe man in der gegebenen G. alle vorgeschriebenen Operationen soweit wie möglich aus, löse also die etwa vorhandenen Klammern auf und verbinde die gleichartigen Glieder jeder Seite durch Addition oder Subtraktion. Kommt die Unbekannte in einem Nenner vor, so schaffe man denselben durch Multiplikation weg. Aus der G.

(12x - 5) / (3x - 16) + 4 = 9

ergibt sich so, wenn man noch die Glieder jeder Seite soweit wie möglich vereinigt,

24x - 69 = 27x - 144.

Hierauf bringt man die bekannten Glieder auf die eine, die unbekannten auf die andre Seite und vereinigt die Glieder jeder Seite; dies gibt

-3x = -75.

Dividiert man nun noch mit dem Faktor von x, so erhält man den Wert von x selbst, also

x = -75 / -3 = 25.

Aus der G. ax + b = cx + d erhält man erst ax - cx = d - b oder (a - c) x = d - b und dann

x = (d - b) / (a - c)

Auflösung der Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. Zur Bestimmung zweier Unbekannten sind zwei Gleichungen nötig. Ehe man an die eigentliche Lösung geht, ordnet man jede G. so, daß die unbekannten Größen links, die bekannten rechts stehen, und vereinigt die gleichartigen Glieder. Die beiden Gleichungen, auf welche wir so gelangt sind, mögen

x + 4y = 19

4x - 2y = 4

sein. Um nun x zu berechnen, muß man aus den beiden Gleichungen eine neue bilden, welche nur noch x, nicht aber y enthält; man muß y eliminieren (wegschaffen). Es gibt verschiedene Eliminationsmethoden, von denen die Additions- und Subtraktionsmethode in den meisten Fällen die bequemste ist. Sie besteht darin, daß man eine der beiden Gleichungen oder auch jede derselben mit einem passenden Faktor multipliziert, so daß nachher die zu eliminierende Unbekannte in beiden Gleichungen denselben Faktor hat, worauf man beide Gleichungen addiert oder die eine von der andern subtrahiert, je nachdem die zu eliminierende Unbekannte in beiden verschiedene Vorzeichen oder ein und dasselbe hat. In unsern beiden Gleichungen würde man also die zweite G. mit 2 multiplizieren, wodurch man

x + 4y = 19

8x - 4y = 8

erhält, und durch Addition dieser beiden Gleichungen ergibt sich 9x = 27, folglich x = 3. Um nun y zu erhalten, kann man in die erste der gegebenen Gleichungen den Wert x = 3 einsetzen; das gibt 3 + 4y = 19 oder 4y = 16, folglich y = 4. Statt dessen kann man auch die erste G. mit 4 multiplizieren und dann die zweite von ihr abziehen, dies gibt 4x + 16y = 76;

davon abgezogen 4x - 2y = 4

bleibt 18y = 72, folglich y = 4.

Auf die allgemeinen Gleichungen

ax + by = c

αx + βy = γ

angewandt, liefert diese Methode die Werte

x = (cβ - γb) / (aβ - αb), y = (aγ - αc) / (aβ - αb).

Bei einer andern Art der Elimination, der Substitutionsmethode, drückt man die eine Unbekannte mittels der ersten G. aus und setzt den Wert in die zweite ein. Hat man z. B. die Gleichungen

4x + 7y = 29

9x + 4y = 30,

so erhält man aus der ersten y = (29 - 4x) / 7,

und die Einsetzung dieses Wertes in die zweite G. liefert

9x + 4 ((29 - 4x) / 7) = 30

oder nach der Multiplikation mit 7

63x + 116 - 16x = 210,

47x = 94, also x = 2.

Ferner ist y = (9 - 4 . 2) / 7 = 21 / 7 = 3.

Ein andres Verfahren zur Elimination ist die Komparationsmethode: man berechnet aus jeder G. eine Formel für die zu eliminierende Unbekannte und setzt beide Werte einander gleich. Aus obigen zwei Gleichungen erhält man z. B.

y = (29 - 4x) / 7 und y = (30 - 9x) / 4,

woraus folgt

(29 - 4x) / 7 = (30 - 9x) / 4,

welche G. den Wert von x liefert.

Zur Bestimmung von drei Unbekannten, x, y, z, sind drei Gleichungen nötig. Um dieselben zu berechnen, eliminiere man zuerst eine Unbekannte, z. B. z, zweimal, also etwa zwischen der ersten und zweiten, sodann zwischen der zweiten und dritten G.; man er-^[folgende Seite]