869

Logan - Logarithmus.

und in ihrem Abstand genau bekannten Landmarken machen, wird die Wirksamkeit der verschiedenen Logarten kontrolliert und für jeden einzelnen Fahrtmesser sein bestimmter Nutzkoeffizient berechnet.

Logan, Sir William Edmond, Geolog, geb. 23. April 1798 zu Montreal in Oberkanada, wandte sich nach einer großenteils in Europa empfangenen wissenschaftlichen Ausbildung um 1840 der speziellen Erforschung der geologischen Verhältnisse seines Heimatslandes zu. In den Jahren 1843-71 stand er an der Spitze der geologischen Landesuntersuchung von Kanada und gab unter anderm von 1862 an eine Geologie Kanadas heraus, welche von Darey ins Französische übertragen ward (Montreal 1864-65). Später edierte L. dann noch Berichte über die Fortschritte der Landesuntersuchung. L. starb wenige Jahre nach Aufgabe seines Postens 22. Juni 1875 in London. Vgl. Harrington, Life of Sir Will. Edm. L. (Lond. 1883).

Loganiaceen, dikotyle, etwa 350 Arten umfassende, der Tropenzone angehörige Pflanzenfamilie aus der Ordnung der Kontorten, meist Holzpflanzen mit gegenständigen Blättern und vier- oder fünfzähligen Blüten, zunächst mit den Gentianaceen verwandt, von denen sie sich durch Nebenblätter unterscheiden. Die L. enthalten zum Teil (namentlich in der Gattung Strychnos) höchst giftige Alkaloide (Strychnin, Brucin).

Logansport (spr. lóggänspohrt), Stadt im nordamerikan. Staat Indiana, am Wabash, 110 km nördlich von Indianapolis, mit großer Eisenbahnwerkstätte, lebhaftem Handel mit Korn, Schweinefleisch und Holz und (1880) 11,198 Einw.

Logaödische Verse, antike Metra, deren stärkere (entschiedenere) Versfüße mit verwandten schwächern (der Prosa näher stehenden) verbunden waren, z. B. Daktylen mit Trochäen (‒⏑⏑|‒⏑|‒⏒) etc.

Logarithmische Linie (logistische Linie), eine ebene krumme Linie, bei welcher die Ordinaten in geometrischer, die Abscissen dagegen in arithmetischer Progression fortschreiten; logarithmische Spirale, eine ebene krumme Linie, bei welcher die Radien in geometrischer, die Winkel aber in arithmetischer Progression wachsen (s. Spirale). Beide werden zur graphischen Lösung der Aufgaben benutzt, die man durch Rechnung mit Hilfe der Logarithmen (s. Logarithmus) löst.

Logaríthmus (griech.) einer Zahl ist der Exponent, mit welchem man eine feste Zahl, die Basis, potenzieren muß, um die erstere Zahl zu erhalten. Die Logarithmen bilden ein wesentliches, bei größern numerischen Rechnungen kaum entbehrliches, Zeit und Arbeit sparendes Erleichterungsmittel für den praktischen Mathematiker. Der Begriff des L. stützt sich hiernach auf den der Potenz. Letztere tritt zuerst als ein Produkt gleich großer Faktoren auf; lediglich zur Abkürzung schreibt man z. B. 5^{3} (5 zur dritten Potenz) statt 5.5.5, und allgemein bedeutet a^{n} das Produkt aus n Faktoren, deren jeder den Wert a hat. Die Zahl a heißt dabei die Basis und n der Exponent. Letzterer ist bei dieser Auffassung der Potenz eine ganze positive Zahl. Allein die Arithmetik erweitert den Begriff der Potenz derart, daß jede beliebige Zahl Exponent sein kann. Es ist nämlich eine Potenz mit dem Exponenten Null der positiven Einheit gleich, a^{0} = 1, und eine Potenz mit negativem Exponenten gleich der Einheit, dividiert durch die Potenz mit dem gleich hohen positiven Exponenten, also 6^{-3} = 1/6^{3} = 1/216. Eine Potenz endlich mit gebrochenem Exponenten wird berechnet, indem man die Basis auf die sovielte Potenz erhebt, als der Zähler des Exponenten angibt, und dann die sovielte Wurzel (s. d.) auszieht, als der Nenner besagt, wobei die Reihenfolge beider Operationen gleichgültig ist; z. B. 64^{5/3} = ^[img] = ^[img] = 4^{5} = 1024. Während aber die Potenzen je nach Beschaffenheit des Exponenten rücksichtlich ihrer Bildung und der Art ihrer Berechnung wesentlich voneinander abweichen, stimmen sie überein in andern Eigenschaften und werden beim Rechnen nach denselben Gesetzen behandelt. Diese gemeinsamen Gesetze sind folgende: 1) man multipliziert zwei Potenzen mit gleicher Basis, indem man ihre Exponenten addiert; 2) man dividiert mit einer Potenz in eine Potenz derselben Basis, indem man den Exponenten des Divisors von dem des Dividenden subtrahiert; 3) man erhebt eine Potenz wieder auf eine Potenz, indem man die Exponenten multipliziert, und 4) man zieht aus einer Potenz eine Wurzel, indem man mit dem Wurzelexponenten in den Potenzexponenten dividiert. Beispielsweise ist also 4^{2}.4^{3} = 4^{5}, 3^{5}/3^{2} = 3^{3}, (5^{3})^{2} = 5^{6}, ^[img] = 5^{2}.

Die an den Exponenten vorzunehmenden Operationen sind in allen vier Fällen einfacher als die für die Zahlwerte der Potenzen geforderten. Da man nun eine jede positive Zahl, wenigstens mit beliebiger Annäherung, als Potenz irgend einer andern positiven Zahl, die Einheit ausgenommen, darstellen kann, so liegt der Gedanke nahe, eine feste positive Zahl als Basis anzunehmen und eine Tabelle zu entwerfen, welche zu jeder positiven Zahl den zugehörigen Exponenten oder, wie man dann sagt, den L. dieser Zahl angibt. Eine solche Tabelle heißt eine Logarithmentafel. Mittels solcher Tafeln kann man dann jede Rechnung, mit Ausnahme der Addition und Subtraktion, durch eine einfachere ersetzen. Jede Benutzung einer solchen Tafel zerfällt im allgemeinen in drei Operationen, nämlich 1) das Aufsuchen der Logarithmen zu den gegebenen Zahlen, 2) die Rechnung mit den Logarithmen und 3) das Aufschlagen der Zahlen zu den durch die Rechnung gefundenen Logarithmen. Man nennt die Zahl, die zu einem gegebenen L. gehört, den Numerus und bezeichnet sie durch num. log. (numerus logarithmi); es ist also z. B. num. log. 0,3010300 = 2, weil umgekehrt log. 2 (L. von 2) = 0,3010300 ist. Das Aufsuchen der Logarithmen zu gegebenen Zahlen und umgekehrt ist eine Operation, deren Ausführung von der Einrichtung der Tafeln abhängt und in der Einleitung derselben gewöhnlich erläutert wird; deshalb kann sie hier übergangen werden. Für die Rechnung mit Logarithmen gelten folgende vier Regeln: 1) Der L. eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Ist z. B. x = 514.3,669.1,045 gesucht, so hat man bei Anwendung siebenstelliger Tafeln

log. 514 = 2,7109631

+ log. 3,669 = 0,5645477

+ log. 1,045 = 0,0191163

log. x = 3,2946271,

folglich x = 1970,73.

2) Der L. eines Quotienten ist gleich dem L. des Dividenden, vermindert um den des Divisors. 3) Der L. einer Potenz ist gleich dem L. der Basis, multipliziert mit dem Exponenten. Wird z. B. 1,045^{10} gesucht, so hat man log. 1,045 = 0,0191163, also, wenn man mit 10 multipliziert, log. 1,045^{10} = 0,1911630, mithin 1,045^{10} = 1,55297. 4) Der L. einer Wurzel ist gleich dem L. der Basis, dividiert durch den Wurzelexpo-^[folgende Seite]