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Proportion (mathematisch, ästhetisch).

vierte leicht berechnen. Man macht davon Anwendung bei der sogen. Regeldetri (regula de tri), d. h. der Berechnung einer unbekannten Größe aus drei bekannten mittels einer geometrischen P. In jeder P. darf man die beiden mittlern und ebenso die beiden äußern Glieder vertauschen. Aus a - b = c - d folgt also a - c = b - d und d - b = c - a, und aus a : b = c : d ergibt sich a : c = b : d und d : b = c : a. Man darf ferner die beiden ersten Glieder vertauschen, wenn man gleichzeitig die beiden letzten vertauscht. Auch bleibt die P. richtig, wenn man die beiden ersten oder die beiden letzten Glieder in einer arithmetischen P. um eine und dieselbe Zahl vermehrt oder vermindert, in einer geometrischen P. dagegen mit einer und derselben Zahl multipliziert oder dividiert (kürzt). Die arithmetischen Proportionen kommen selten zur Verwendung, sie sind eben nur eine ganz spezielle Art von Gleichungen ersten Grades; letzteres gilt zwar auch für die geometrischen, doch sind diese Proportionen, namentlich in der Praxis, so vielfach im Gebrauch, daß eine genauere Kenntnis derselben nicht entbehrt werden kann, daher hier noch einige kurze Bemerkungen über dieselben Platz finden mögen. Aus einer geometrischen P. a : b = c : d läßt sich stets eine andre von der allgemeinen Form κa + λb : μa + νb = κc + λb : μc + νd ableiten, in welcher κ, λ, μ und ν ganz beliebige Zahlen sind. Die gewöhnlichste Fälle sind a + b : b = c + d : d (κ = λ = ν = +1, μ = 0), a - b : b = c - d : d (κ = ν = +1, λ = -1, μ = 0), a - b : a + b = c - d : c + d (κ = μ = ν = +1, λ = -1) etc. Um aus drei bekannten Größen eine vierte unbekannte mittels einer geometrischen P. berechnen zu können, ist nötig, daß diese Größen proportional sind, oder daß zwei von diesen vier Größen in demselben Verhältnis stehen wie die zwei andern, d. h. daß der Quotient aus den beiden ersten gleich ist dem Quotienten aus den beiden letzten. Man unterscheidet zwischen direkt und indirekt proportionalen Größen (zwischen direkten und indirekten Verhältnissen). Bei erstern entspricht einer Vergrößerung oder Vermehrung der einen Größe auch eine solche der andern; bei indirekt proportionalen Größen vermindert sich die eine, wenn die andre vermehrt wird. Direkt proportional sind z. B. Preis und Quantität einer Ware, Lohn und Arbeitszeit, Kapital und Zinsen u. dgl., während die Zahl der Arbeiter und die Arbeitszeit (bei gleicher Arbeitsleistung), Kapital und Zeit (bei gleichem Zinsfuß und Zins) indirekt proportional sind. Die unbekannte Größe, die man mit x bezeichnet, bildet gewöhnlich das vierte Glied der P. und ist gleich dem Produkt der beiden mittlern Glieder, dividiert durch das erste Glied. Z. B. in welcher Zeit werden 50 Arbeiter eine Arbeit vollenden, zu der unter übrigens gleichen Umständen 35 Arbeiter 20 Tage brauchen? Da 50 Arbeiter weniger Zeit nötig haben als 35, so sind die 20 Tage zu vermindern im Verhältnis 50 : 20, und man hat also die P. 50 : 35 = 20 Arbeiter : x, also x = (20 . 35) / 50 = 14 Tage. Sind mehrere Proportionen, a : b = c : d, a_{1} : b_{1} = c_{1} : d_{1}, a_{2} : b_{2} = c_{2} : d_{2} etc., gegeben, so erhält man aus ihnen eine neue P., deren Glieder die Produkte aus den gleichnamigen Gliedern der gegebenen Proportionen sind, nämlich aa_{1}a_{2} ... : bb_{1}b_{2} ... = cc_{1}c_{2} : dd_{1}d_{2} ... Darauf beruht die Regua multiplex oder zusammengesetzte Regeldetri, das Verfahren, aus einer ungeraden Anzahl bekannter Größen eine unbekannte Größe mittels geometrischer Proportionen zu berechnen. Man unterscheidet Regula quinque, R. septem etc., je nachdem die Zahl der bekannten Größen 5, 7 etc. ist. Z. B. 600 Mann bauen in 21 Tagen zu 12 Stunden Arbeitszeit eine Wegstrecke von 3500 m Länge und 4 m Breite; wieviel Tage zu 8 Stunden brauchen 900 Arbeiter zur Fertigstellung von 12,000 m Länge und 4,5 m Breite? Berücksichtigt man, alles andre als gleich annehmend, bloß die verschiedene Arbeiterzahl, so sieht man, daß die 21 Tage im Verhältnis 900 : 600 zu vermindern sind; man erhält die P. 900 : 600 = 21 : x_{1}. Beachtet man jetzt die verschiedene Dauer der täglichen Arbeitszeit, so erkennt man, daß wegen der geringern Arbeitszeit im zweiten Fall x_{1} zu vergrößern ist im Verhältnis 8 : 12, so daß man hat 8 : 12 = x_{1} : x_{2}. Nimmt man noch Rücksicht auf die Verschiedenheit der Länge und zuletzt der Breite der hergestellten Wegstrecken, so ergeben sich noch die Proportionen 3500 : 12,000 = x_{2} : x_{3} und endlich 4 : 4,5 = x_{3} : x. Aus diesen vier Proportionen erhält man durch Multiplikation 900 . 8 . 3500 . 4 : 600 . 12 . 12,000 . 4,5 = 21 . x_{1}x_{2}x_{3} : x_{1}x_{2}x_{3}x, wo x_{1}x_{2}x_{3} durch Division wegfällt, so daß man erhält x = (600 . 12 . 12000 . 4,5 . 21) / (900 . 8 . 3500 . 4) = 81 Tage. Statt dessen schreibt man gewöhnlich kürzer

900 : 600 = 21 : x

8 : 12

3500 : 12000

4 : 4,5

und findet nun den Wert von x, indem man das Produkt der zweiten Glieder mit 21 multipliziert und mit dem Produkt der ersten Glieder dividiert. Man sieht, daß man sich jede Ansatzbildung ersparen kann. Da nämlich die gegebene Größe 21 Tage im Verhältnis 900 : 600 zu verkleinern, dagegen in den Verhältnissen 8 : 12, 3500 : 12,000 und 4 : 4,5 zu vermehren ist, so ergibt sich sofort für x der Wert x = (21 . 600 . 12 . 12000 . 4,5) / (900 . 8 . 3500 . 4) = 81. Früher wurden in den Rechenbüchern verschiedene Vorschriften über die Anordnung der Größen bei Aufgaben dieser Art gegeben, von denen namentlich die Reessche und die Basedowsche Regel beliebt waren. Sie liefen im wesentlichen auf das Gesagte hinaus und sind entbehrlich. Zahlreiche Beispiele für praktische Verwendung der Proportionen enthält Feller u. Odermann, Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik (15. Aufl., Leipz. 1886).

Im ästhetischen Sinn ist P. eine gewisse, auf Zahlen- u. Größenverhältnissen beruhende Beziehung, in der die einzelnen Teile eines Natur- u. Kunstgebildes, namentlich auch der menschlichen Gestalt, zu einander stehen, und die auch in der Anschauung unmittelbar vom Sinn aufgefaßt wird und zwar so, daß sie einen wohlthätigen Eindruck macht. Für gesetzmäßige Verhältnisse des menschlichen Körpers bestimmte Regeln aufzustellen, war schon im Altertum das Bestreben der Künstler. Die ägyptischen Bildhauer arbeiteten nach einem bestimmten Kanon (s. d.), und für die griechische Kunst stellte Polyklet in einer ebenfalls Kanon genannten Statue ein Muster auf, welches lange Zeit maßgebend blieb, bis Lysippos andre Verhältnisse für die richtigern erklärte. Seit dem Beginn der Renaissance in Italien war die P. wieder ein Lieblingsgegenstand der theoretischen Studien der Künstler (Leonardo da Vinci). Am meisten beschäftigte sich jedoch Dürer mit dem Versuch, bestimmte Normen nicht nur für die Körperverhältnisse der Menschen, sondern auch der Tiere durch Messungen und Berechnungen aufzustellen. In neuerer Zeit hat G. Schadow unter dem Titel: "Polyklet, oder von den Maßen des Menschen" ein ebenfalls auf Messungen beruhen-^[folgende Seite]