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Pythagoreischer Lehrsatz - Pythagoreische Zahlen.

von ihnen gelehrte Bewegung der Erde um das Zentralfeuer nicht mit der Bewegung um die Sonne zu verwechseln ist. Eine eigentümliche Erdichtung war die Gegenerde (Antichthon), durch welche die Zahl der Weltkörper auf die für heilig gehaltene Zehnzahl gebracht werden sollte. Die Annahme einer Sphärenharmonie wurde auf die Abstände der Himmelskörper gegründet und später phantastisch ausgeschmückt. P. allein sollte diese Harmonie haben wahrnehmen können. Überhaupt wurde die Persönlichkeit des P. schon bei seinen Lebzeiten ein Gegenstand außerordentlicher Verehrung. Der Umstand, daß "er selbst etwas gesagt" (autos epha), diente als Beweismittel. Als Kern der theoretischen Lehre des P. gilt der Satz, daß "das Wesen der Dinge Zahlen seien". Derselbe rührt vielleicht daher, daß das Wesen der harmonischen Tonintervalle, deren Entdecker P. sein soll, wirklich in Zahlenverhältnissen (der ersten ganzen Zahlen der Zahlenreihen) besteht und dieselben Verhältnisse sich zwischen den Abständen der Weltkörper untereinander und vom Zentralfeuer als dem Mittelpunkt des Weltalls der Behauptung der Pythagoreer nach wiederfinden sollten, daher sie die Welt eine "Harmonie der Sphären" nannten. Machten aber einmal Zahlen das Wesen der Dinge aus, so lag es nahe, die Eigenschaften der erstern auch auf diese zu übertragen und z. B. darin, daß jede beliebige Zahl, mit Ausnahme der Eins (Monas), die selbst ungerade, und der Zwei (Dyas), die selbst gerade ist, aus einer ungeraden und einer geraden bestehend vorgestellt werden kann, eine Veranlassung zu finden, auch jedes beliebige Ding als bestehend aus zwei Elementen zu denken, deren eins (das Begrenzende, Form) dem Ungeraden, das andre (das Begrenzte, Stoff) dem Geraden (in der Zahl) entsprechen sollte. Wirklich genossen gewisse Zahlen: die Eins (Monas), die Zwei (Dyas), die Drei (Trias) als Summen der Monas und Dyas, die Vier als verdoppelte Dyas, vor allen aber die Zehnzahl (Tetraktys) als Summe der vier ersten Zahlen, welche zugleich die Anzahl der Weltkörper war, bei der Schule des P. besondere Verehrung, welche im Verlauf zu willkürlicher Spielerei und mystischer Symbolik ausartete. Die Ethik der Pythagoreer war Asketik und hatte durch die Übung des Schweigens, welches den Novizen des Bundes zur Pflicht gemacht wurde, sowie die Vorschriften über die Enthaltung von gewissen Speisen etwas Mönchisches. Von dem Verhältnis, welches zwischen Seele und Leib stattfinden soll, hegten die Pythagoreer eine pessimistische und an uralte Religionsideen erinnernde Vorstellung. Sie nahmen an, daß die Seele durch den Leib beschränkt und gefesselt werde. Hiermit hängt ihre Lehre von der Metempsychose (Seelenwanderung) zusammen, die sie jedoch nicht erfunden, sondern aus dem Orient überkommen zu haben scheinen. Politisch vertrat P. die Aristokratie, und die Pythagoreer sollen etwa ein Jahrhundert nach dem ersten Auftreten des P. in Kroton einer demokratischen Verfolgung in großer Anzahl zum Opfer gefallen sein. Es wird erzählt, daß eine zahlreiche Versammlung derselben in dem früher dem Athleten Milon zugehörigen Haus durch die Umzingelung und Anzündung des letztern vernichtet worden sei. Doch findet man auch noch später in andern Städten Spuren einer Herrschaft der Pythagoreischen Partei. P. selbst ist mindestens in demselben Maß ein politisch-religiöser Sektenstifter wie ein Forscher und Philosoph gewesen. Über die Art seines Endes fehlen sichere Nachrichten; jedoch ist die Ansicht, daß auch er in der erwähnten Verfolgung umgekommen sei, unhistorisch. Vgl. Böckh, Philolaos' des Pythagoreers Lehren nebst den Bruchstücken seines Werkes (Berl. 1819); Ritter, Geschichte der Pythagoreischen Philosophie (Hamb. 1826); Gladisch, Die alten Schinesen und die Pythagoreer (Posen. 1841); Röth, Geschichte der abendländischen Philosophie, Bd. 2 (2. Aufl., Heidelb. 1862); Schaarschmidt, Die angebliche Schriftstellerei des Philolaos (Bonn 1864); Rothenbücher, Das System der Pythagoreer (Berl. 1867); Chaignet, Pythagore et la philosophie pythagorienne (Par. 1873).

2) Griech. Erzgießer, aus Rhegion auf Samos gebürtig, lebte um 470 v. Chr. und war ausgezeichnet durch die rhythmische Gliederung seiner zum Teil in schwierigsten Stellungen aufgefaßten Statuen. Er bildete auch zuerst das feinere Detail des Körpers, wie Haare, Adern und Sehnen, sorgfältiger durch. Von ihm wird besonders eine Bronzebild des hinkenden Philoktet hochgepriesen, ferner ein Apoll im Drachenkampf, eine Gruppe der miteinander kämpfenden Brüder Eteokles und Polyneikes, ein Perseus die Medusa tötend. Die meisten seiner Werke sind jedoch Statuen von Siegern in den Wettspielen zu Delphi und Olympia gewesen.

Pythagoreischer Lehrsatz, einer der wichtigsten und folgenreichsten, dem Pythagoras als Erfinder zugeschriebener geometrische Lehrsatz (daher früher häufig Magister matheseos genannt), nach welchem in jedem rechtwinkeligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich ist. Die Figur zeigt uns das rechtwinkelige Dreieck ABC, in welchem vom Scheitel A des rechten Winkels aus das Perpendikel AD auf die Hypotenuse BC gefällt und diese in die Abschnitte BD und DC zerlegt ist. Es ist nun das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus der ganzen Hypotenuse und dem an der Kathete anliegenden Abschnitt der Hypotenuse, also Quadrat ABEF = Rechteck BDIL und Quadrat ACGH = Rechteck CDIK; die Addition beider Gleichungen gibt den Pythagoreischen Satz. In unsrer Figur ist außerdem das Quadrat ADMN über der Höhenlinie AD des rechtwinkelige Dreiecks gleich dem Rechteck CDOP aus den beiden Abschnitten der Hypotenuse (CD u. DO = DB). Einer im spätern Altertum verbreiteten Sage nach soll Pythagoras, von der hohen Bedeutung seines Satzes durchdrungen, den Göttern zum Dank für die Entdeckung ein Opfer von einer Hekatombe (100) Ochsen dargebracht haben, was indessen den Sitten der Pythagoreer gänzlich widersprechen würde. Über den erweiterten Pythagoreischen Lehrsatz vgl. Trigonometrie.

^[Abb.: Rechtwinkeliges Dreieck]

Pythagoreisches Dreieck, ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Seiten durch rationale Zahlen angebbar sind. Man findet die Katheten und die Hypotenuse nach den Formeln a² - b², 2ab und a² + b², wenn man für a und b ganze Zahlen setzt; z. B. für a = 2, b = 1 erhält man 3, 4, 5; für a = 3, b = 2 aber 5, 12, 13; für a = 4, b = 1: 15, 8, 17; für a = 4, b = 3: 7, 24, 25 etc.

Pythagoreische Zahlen, die Zahlen, welche die Länge der Seiten eines Pythagoreischen Dreiecks (s. d.) ausdrücken.