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Kettenbaum - Kettenbruch.
im Kampf gegen das Kapital gepriesen wurde. Auch fügte er sich rasch und mit Geschick in die 1866 in Deutschland eingetretene Wendung der politischen Verhältnisse ("Deutschland nach dem Krieg von 1866", 6. Aufl., Mainz 1867). Seine Anhänglichkeit an das Papsttum bekundete er wiederholt in demonstrativer Weise: 1854 wohnte er der Publikation des Dogmas von der unbefleckten Empfängnis in Rom bei, feierte im Juni 1855 mit großem Pomp das 1100jährige Säkularfest des heil. Bonifacius und war 1860 und 1867 wieder in Rom. Auf dem Konzil 1870 gehörte er zu den Bischöfen, welche die Opportunität des Unfehlbarkeitsdogmas bekämpften, und that noch 15. Juli einen (vergeblichen) Fußfall vor Pius IX. Schon im August 1870 unterwarf er sich aber und verteidigte das Dogma in verschiedenen Hirtenbriefen, in denen er Unterwerfung von allen Gläubigen verlangte. Seitdem übernahm er die Führung der ultramontanen Partei im Kampf gegen das Deutsche Reich und die preußische Kirchengesetzgebung. In Tauberbischofsheim 1871 in den ersten deutschen Reichstag gewählt, wurde er Führer der Zentrumspartei, legte indes sein Mandat bald nieder, um sich durch seinen Domkapitular Moufang vertreten zu lassen. An den Versammlungen der preußischen Bischöfe in Fulda nahm er regelmäßig teil, obwohl nur wenige Gemeinden seiner Diözese seit 1866 preußisch waren, und vertrat hier mit Erfolg die Politik des unbedingten Widerstandes gegen die staatliche Gesetzgebung. 1874 untersagte er sogar in den Kirchen seiner Diözese die Feier des Sedantags u. nannte den Rhein einen katholischen Strom. Sein Bischofsjubiläum 1875 wurde zu einer großen ultramontanen Demonstration benutzt. Als nach dem Sturz des Ministeriums Dalwigk (1871) der Minister Hofmann 1874 den Kammern die den preußischen nachgeahmten Kirchengesetze vorlegte, protestierte K. 24. Sept. 1874 gegen dieselben u. erklärte, daß "er dem Recht und der Freiheit der katholischen Kirche auch im kleinsten Punkt nichts vergeben werde". Indes vermied er, obwohl er die preußischen Bischöfe zum rücksichtslosen Kampf gegen den Staat hetzte, durch deren Schicksal belehrt, klüglich offene Konflikte mit der Regierung. Er starb auf der Rückreise von Rom 13. Juli 1877 in Burghausen bei Augsburg. K. besaß unstreitig bedeutende Gelehrsamkeit und große geistige Begabung sowie Gewandtheit und Schlagfertigkeit im mündlichen wie schriftlichen Gebrauch der Rede. Wohin aber ein bedeutender, energischer, ja in gewissem Sinn freiheitsliebender Priester durch die Konsequenzen des ultramontanen, jesuitischen Systems getrieben werden kann, dafür ist K. ein belehrendes Beispiel. Von seinen zahlreichen Schriften sind noch zu erwähnen: "Freiheit, Autorität und Kirche" (7. Aufl., Mainz 1862); "Die wahren Grundlagen des religiösen Friedens" (3. Aufl., das. 1868); "Das allgemeine Konzil und seine Bedeutung für unsre Zeit" (5. Aufl., das. 1869). "Briefe von und an Wilh. Eman. Freih. v. K." gab Raich heraus (Mainz 1879).
Kettenbaum, s. Weben.
Kettenbruch (kontinuierlicher Bruch), ein Bruch, dessen Zähler eine ganze Zahl und dessen Nenner die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch von derselben Bildungsweise ist; z. B.:
^[img] oder: ^[img]
Diese beiden Kettenbrüche sind endlich und haben rationale Werte; hört aber der K. nicht auf, so heißt er unendlich und hat einen irrationalen Wert. Die Brüche 3/4, 7/8, 5/4, 1/2 im ersten und 1/2, 1/13, 1/7, 1/3 im zweiten Beispiel nennt man die Glieder des Kettenbruchs; haben alle Glieder den Zähler 1, wie im zweiten Beispiel, so heißt der K. ein einfacher. Die einfachen Kettenbrüche finden hauptsächlich zur Berechnung von Näherungswerten für Brüche, deren Zähler und Nenner sehr große Zahlen sind, Anwendung. Nimmt man nämlich statt des ganzen Kettenbruchs bloß das erste Glied, dann die zwei ersten Glieder, hierauf die drei ersten Glieder, so bekommt man Näherungswerte, die abwechselnd zu groß und zu klein sind, sich aber dem wahren Wert immer mehr nähern, indem die Näherungswerte ungerader Ordnung, also der erste, dritte, fünfte etc., abnehmen, diejenigen gerader Ordnung dagegen, also der zweite, vierte etc., wachsen. Diese Näherungswerte (Partialbrüche) lassen sich leicht berechnen. Sind nämlich a1, a2, a3 ^[a_{1}, a_{2}, a_{3}] etc. die Nenner der aufeinander folgenden Glieder eines einfachen Kettenbruchs, so sind die Näherungswerte
1) ^[img] 2) ^[img]
3) ^[img] 4) ^[img]
5) ^[img] u. s. f.
Es hat also beispielsweise der zweite der obenstehenden Kettenbrüche die Näherungswerte
^[img],
deren letzter den richtigen Wert angibt. Der Wert eines einfachen Kettenbruchs ist stets kleiner als 1; um daher eine Zahl in einen solchen K. zu verwandeln, sondere man erst die Ganzen ab und verwandle den übrigbleibenden echten Bruch. Zu dem Ende dividiere man mit dem Zähler in den Nenner, dann mit dem Rest in den vorigen Divisor (den Zähler des zu verwandelnden Bruches) und fahre so fort, indem man immer mit dem Rest in den vorigen Divisor dividiert, bis die Rechnung aufgeht. Die Quotienten, welche sich hierbei ergeben, sind die Nenner der Glieder des Kettenbruchs. Bei der Verwandlung eines Dezimalbruchs in einen K. hat man denselben zunächst als gemeinen Bruch zu schreiben. Die Umwandlung von 289/600 in einen K. gibt z. B. folgende Rechnung:
^[img],
und man erhält so die Nenner der Glieder des oben angegebenen einfachen Kettenbruchs. Außer zur Ermittelung von Näherungswerten finden die Kettenbrüche auch in der unbestimmten Analytik zur Lösung diophantischer Gleichungen, ferner in der Algebra zur Auflösung quadratischer Gleichungen etc. sowie in der Analysis Anwendung. Die Kenntnis der Kettenbrüche datiert aus dem 17. Jahrh. Lord Brounker (1620-84) hat bereits die Ludolfsche Zahl durch einen K. dargestellt. Huygens zeigte die Verwendung zur Ermittelung von Näherungswerten, ausführlicher hat sie dann Leonhard Euler behandelt. Eingehendere
