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Kegelschnitte - Kegelspiegel.

tungen ins Unendliche und ist eine Hyperbel (s. d.). Verschiebt man drei Schnittebenen, welche den Kegel in einer Ellipse, Parabel und Hyperbel schneiden, parallel, bis sie durch die Spitze gehen, so erhält man als besondere Formen dieser drei Linien einen Punkt, eine (doppelt zu denkende) Gerade und zwei sich schneidende Gerade. Auch zwei parallele Gerade betrachtet man als einen Kegelschnitt, weil sie sich als ebener Schnitt einer Cylinderfläche ergeben und diese als eine Kegelfläche mit unendlich entfernter Spitze anzusehen ist. Zu den elliptischen Schnitten gehört auch der Kreis (s. d.). Von allgemeinen Eigenschaften der K. erwähnen wir folgende: 1) Ein Kegelschnitt wird von einer Geraden in höchstens zwei Punkten geschnitten. 2) Wenn ein Sechseck einem Kegelschnitt eingezeichnet ist, so liegen die Schnittpunkte der drei Paare von Gegenseiten auf einer geraden Linie. Unter einem "Sechseck" ist hierbei die gebrochene Linie zu verstehen, welche sechs Punkte (die hier auf dem Umfang eines Kegelschnitts liegen) in irgend einer Reihenfolge verbindet, wie ABCDEF in Fig. 1; Gegenseiten sind die 1. und 4., 2. und 5., 3. und 6., so daß also in unsrer Figur M, N und P die drei Punkte sind, die auf einer Geraden (m liegen). Dieser Lehrsatz rührt von Pascal her u. ist von ihm zur Grundlage einer Theorie der K. gemacht worden; die Figur wird auch als mystisches Hexagramm bezeichnet, die Gerade m heißt eine Pascalsche Linie. Der Satz zeigt, daß ein Kegelschnitt durch fünf Punkte, von denen nicht drei in gerader Linie liegen, bestimmt ist; denn sind A, B, C, D, E gegeben, und zieht man durch E eine beliebige Gerade f, so findet man den auf ihr liegenden Punkt F des Kegelschnitts wie folgt: man bestimmt die Schnittpunkte M von AB und DE, N von BC und f sowie P von CD und MN; dann ist F der Schnittpunkt von AP und f. 3) Die allgemeinste Gleichung eines Kegelschnitts in Parallelkoordinaten x, y lautet:

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0,

in welcher A, B, C, D, E, F konstante Größen sind; derselbe ist eine Ellipse, wenn AC > B², eine Parabel, wenn AC = B², und eine Hyperbel, wenn AC < B² ist. 4) Jeder Kegelschnitt wird durch eine gerade Linie AX, die Hauptachse, in zwei symmetrische Hälften geteilt. Auf derselben liegen zwei Punkte, welche verschiedene merkwürdige Eigenschaften besitzen, die Brennpunkte, und zu jedem Brennpunkt gehört eine zur Hauptachse senkrechte Gerade, eine Direktrix. Die Entfernungen eines Punktes P von einem Brennpunkt F und von der zugehörigen Direktrix f (Fig. 2) stehen in einem konstanten Verhältnis: PF = ε . PL; die konstante Größe ε heißt die numerische Exzentrizität. Sind AM und MP die rechtwinkeligen Koordinaten von P, so ergibt sich aus diesem Satz die Gleichung der Kurve:

y² = 2px + (ε² - 1) x²,

wobei p die Ordinate des Brennpunkts ist. Je nachdem ε < 1, oder ε = 1, oder ε > 1 ist, ist y² < 2px, oder y² = 2px, oder y² > 2px, und danach heißt die Kurve schon im klassischen Altertum im ersten Fall eine Ellipse (v. griech. élleipsis, ein Mangel), im zweiten eine Parabel (v. griech. parabole, Gleichheit) und im dritten eine Hyperbel (v. griech. hyperbole, Überschuß). Bezeichnet man aber FP mit r und den Winkel AFP mit φ, so ist r = P / (1 + ε cos φ). 5) Die Entfernung eines Punktes P der Kurve vom Brennpunkt heißt ein Leitstrahl oder Radius vector. Tangente und Normale halbieren die Winkel zwischen den Leitstrahlen. 6) Ist PN die bis zur Hauptachse verlängerte Normale und Winkel FPN = ψ, so ist bei jedem Kegelschnitt PN . cos ψ gleich der Brennpunktsordinate p. 7) Der Krümmungshalbmesser eines Kegelschnitts hat die Größe ρ = PN / (cos² ψ). Man findet daher den Krümmungsmittelpunkt R, wenn man in N auf der Normalen eine Senkrechte errichtet, welche den verlängerten Leitstrahl in Q schneidet; errichtet man dann in Q eine Senkrechte auf QP, so schneidet dieselbe die Normale in R. 8) Die Halbierungspunkte aller Sehnen eines Kegelschnitts, die einander parallel sind, liegen auf einer Geraden, dem Durchmesser, welcher den Sehnen konjugiert ist; die Tangenten an den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel den konjugierten Sehnen. Bei Ellipse und Hyperbel schneiden sich alle Durchmesser in einem Punkt, dem Mittelpunkt der Kurve; dabei sind je zwei Durchmesser einander konjugiert, so daß jeder von ihnen die Sehnen halbiert, die mit dem andern parallel gehen. Der Hauptachse ist der zu ihr senkrechte Durchmesser, die Nebenachse, konjugiert, und diese beiden sind die einzigen rechtwinkeligen konjugierten Durchmesser. Bei der Parabel gehen alle Durchmesser parallel, der Mittelpunkt sowie ein Brennpunkt fallen in unendliche Ferne. - Die K. sind zuerst in der Schule des Platon studiert worden; die erste ausführliche Theorie hat uns Apollonios von Perga (s. Apollonios 2) hinterlassen; vgl. "Des Apollonios von Perga sieben Bücher über K. etc." (deutsch von Balsam, Berl. 1861); Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (Kopenh. 1886). Seit Cartesius wurde die analytisch-geometrische Behandlung üblich, wie sie die heutigen Lehrbücher der analytischen Geometrie geben; z. B. kurz gefaßt Fort, Analytische Geometrie der Ebene (5. Aufl., Leipz. 1883), sehr ausführlich Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie der K. (4. Aufl., das. 1878). Elementar-geometrisch ist die Behandlung in Beyssel, Die K. (Braunschw. 1862), Steiner, Die Theorie der K., Bd. 1 (2. Aufl., Leipz. 1876) und Krimmel, Die K. (Tübing. 1883). Auf dem Kegel erscheinen die K. als Zentralprojektionen des Kreises, und es lassen sich daher zahlreiche Eigenschaften des letztern auf diese Linien übertragen. Diese dem Altertum fremde Auffassung rührt von Desargues (1593-1662) und Pascal (s. d.) her. Aus derselben hat sich die planimetrische Betrachtung der K. als Erzeugnisse projektiver Punktreihen und Strahlenbüschel entwickelt. Vgl. ferner Chasles, Traité de sections coniques (Par. 1865); Steiner, Die Theorie der K., Bd. 2 (bearb. von Schröder, Leipz. 1867); Gretschel, Organische Geometrie (das. 1868); Reye, Geometrie der Lage (Hannov. 1866-68, 2 Tle.).

^[Abb.: Fig. 1. Pascalsches Sehnensechseck. Fig. 2. Hauptachse und Direktrix.]

Kegelspiegel, Spiegel, welcher den Mantel, die gebogene Seitenfläche, eines Kegels darstellt. Der K. wirkt nur in der Linie von der Spitze zur Basis wie