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Geologische Orgeln - Geometrie
Darstellung zu bringen und sie der Wissenschaft,
Land- und Forstwirtschaft u. s. w. nutzbar zu machen.
In Deutschland besitzen Preußen und die thüring.
Staaten, Sachsen, Bayern, Elsaß-Lothringen, Ba-
den, Mecklenburg, Hessen solche G. L. Osterreich be-
sitzt die k. t. Geologische Reichsanstalt in Wien.
Geologische Orgeln, s. Erdorgeln.
Geologische Profile, Querschnitte durch ein-
zelne Schichten, ganze Schichten- und Gesteinskom-
plexe, Landstriche oder Gebirge, vermittelst deren die
petrographische Zusammensetzung, die Lagerungs-
verbältnisse und der geolog.Aufbau des betreffenden
Gliedes oder Teils der Erdkruste zur Anschauung
gebracht werden sollen. Beruhen diese Profile we-
niger auf der direkten Beobachtung des Thatsäch-
lichen, als vielmehr auf theoretifchen Schlüssen und
Anschauungen, so heißen sie Idealprofile.
Geomantie (grch.), s. Punktierkunst.
Geomechanik lgrch.), s. Mechanik.
Geometer (grch.), Feldmesser.
VoolNVtriäav, s. Spanner; (^eointztrH äelo-
liarm, s. Frostschmctterling; (Fkoinktill. dotulaiia,,
s. Birtenspanner.
Geometrie, ein Teil der Mathematik, ist die
Lehre von den räumlichen Gebilden, d. h. denjenigen
im Raum denkbaren Gestalten, denen irgend ein er-
kennbares Bildungsgesctz zu Grunde liegt, während
absolut gesetzlose (chaotische) Gebilde sich der geometr.
Betrachtung entziehen. Die G. sieht überdies von
dem Stoss ab und betrachtet bei den Gebilden nur
die Form und die Größenverhältnisse, sowie die
Lagenbezichungcn der einzelnen Teile. Das ein-
fachste geometr. Gebilde ist der Punkt, d. h. ein
ausdehnungsloser Ort im Raume. Durch Fortbe-
wegung eines Punktes entsteht eine Linie; diese
bat in jedem ihrer Punkte nach irgend einer Rich-
tung eine Ausdehnung (Dimension) oder ist, wie
man sagt, ein eindimensionales Gebilde. Durch
Verschiebung einer Linie entsteht ein zweidimen-
sionales Gebilde: die Fläche, und durch Fort-
bewegung einer Fläche erhält man einen Körper,
welcher drei Dimensionen besitzt. So bilden Punkt
(als Grundelement), Linie, Fläche und Körper die
Hauptgattungen der geometr. Gebilde, und es ist
die erste Aufgabe der G., die besondern Gestalten
der Linien, Flächen und Körper zu ermitteln und zu
definieren. So kommt man zur Kenntnis gerader
und krummer Linien (Kurven), ebener und krummer
Flächen. Je nachdem sich die Betrachtung auf ebene
(plane) Gebilde (solche, deren sämtliche Punkte in
einer Ebene liegen) oder räumliche Gebilde im engern
Sinne (solche, die in den Naum hineinragen) bezieht,
bezeichnet man die G. als Planimetrie oder
Stereometrie.
Die ältere (Euklidische) G. baut nun auf Grund-
lage weniger Axiome oder Grundsätze, deren Be-
weis als unmöglich und überflüssig gilt, die Lehr-
sätze auf, deren einfachste sich direkt auf die Axiome
stützen und ihrerseits wieder zum Beweis verwickel-
terer Lehrsätze dienen. Das einfachste geschlossene,
aus geraden Linien zusammengesetzte Gebilde ist
das Dreieck; in Dreiecke lassen sich alle übrigen
durch gerade Linien begrenzten Figuren (Vielecke oder
Polygone) zerlegen, und daher bildet die Kenntnis
des Dreiecks die Grundlage zum Studium kompli-
zierlerer Gebilde. Die wichtigsten (Hätze über das
Dreieck sind die der Kongruenz (s. d.) und Ähn-
lichkeit (s. d.), sowie derPythagoreische Lehr-
satz (s. d.). Von diesen Hauptsätzen leiten sich die
^
Regeln für die Konstruktion der Dreiecke sowie die
Formeln über ihren Flächeninhalt und andere Be-
ziehungen ab. Ein besonderer Zweig der Dreiecks-
lchre ist die Trigonometrie (s. d.), welche mittels
der Goniometrischen Funktionen ls. d.) un-
bekannte Winkel und Seiten eines Dreiecks aus den
bekaunten Stücken nicht durch Konstruktion, sondern
durch Rechnung zu finden lehrt und in der Feldmeh-
kunst und Astronomie eine ausgedehnte Anwendung
findet. Bezüglich der krummen Linien (s. Kurven)
bildet der Kreis (s. d.) als einfachste derselben den
Gegenstand weitgehender Forschungen und hat durch
das unlösbare Problem seiner Quadratur zu allen
Zeiten Stoff zu vergeblichen Bemühungen gegeben.
Wesentlich verschieden von der Euklidischen G. ist
die analytische G. in ihrem Gedankengang. Sie
bildet eine geistvolle Verbindung algebraischer und
geometr. Begriffe und zwar mittels der Koordi-
naten (s. d.), die einerseits als Zahlengrößen gelten
und andererseits geometr. Bedeutung besitzen. Zieht
man z. B. in einer Ebene eine gerade Linie I (s. nach-
stehende Fig. 1) und bestimmt ihre Lage zu einem
M'ten Koordinatensystem (Achsenkreuz) X, V durch die
Strecken a. und
!>, welche 1 auf
den Achsen von
0 an gemessen
abschneidet, so
gilt für einen be-
liebigen Punkt , , .
.V bezüglich sei- !,,"
ner rechtwinkli-________________^____^ ^
gen Koordina- ^
tenx und ^ (das
sind seine senk- Fig. i.
rechtenAbstände
von den Achsen) die Gleichung aid -^ (a -x)-. 7 oder
^ ^. ^ ^1. Da ^ ein beliebig gewählter Punkt der
^ l"
Geraden 1 war, so gilt obige Gleichung sür jeden
andern Punkt der Geraden, mithin sür die ganze
Gerade: man ist daher berechtigt, jene Gleichung
dieGleichung der Geraden 1 zu nennen. Man
kann nun leicht zeigen, daß jeder beliebigen Geraden
immer eine lineare Gleichung entspricht, oder umge-
kehrt, daß jede lineare Gleichung zwischen x und ^
eine gerade Linie bedeutet. Weiterhin ergiebt sich,
daß jede quadratische Gleichung zwischen x und
> einen Kegelschnitt (s. d.) darstellt, und zwar
kann man durch Untersuchung der Gleichung fest-
stellen, in welchem Falle ein Kreis, eine Ellipse,
eine Parabel oder eine Hyperbel dargestellt wird.
So hat z. B. die Gleichung des Kreises die Form
x2 ^ ^2 ^ ^2 wenn d^ Koordinatenachsen durch
seinen Mittelpunkt czeheu und v ^eiu Radius be-
deutet (s. Fig. 2); ftr die Ellipfe (Fig. 3) gilt,
wenn 9. und d die Halbachsen sind, die Gleichung
^ ^ ^ --1, u. s. w. So entspricht jeder Klasse von
Gleichungen eine bestimmte Klasse von Kurven; die
Eigenschaften der Kurve spiegeln sich in den Eigen-
schaften der Gleichung wider; z. B. ist die Sym-
metrie einer Kurve durch eine entsprechende Sym-
metrie ihrer Gleichung erkennbar, wie die Beispiele
des Kreises und der Ellipse zeigen, und durch ge-
schickte Wahl des Koordinatensystems kann man
einer Gleichung diejenige Form geben, in der sie
am leichtesten übersehbar ist. Es lassen sich sogar
