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Pendel.

seine Geschwindigkeit durch die entgegenwirkende Schwerkraft erschöpft ist. Die Bewegung des Pendels von c bis d heißt eine Schwingung, der Winkel abc, den der Faden in seiner äußersten Lage mit der Gleichgewichtslage bildet, die Schwingungsweite (Amplitude). In einer zweiten Schwingung kehrt das P. wieder von d in seine anfängliche Lage c zurück und würde so in unaufhörlicher Wiederholung derselben Bewegung mit gleichbleibender Amplitude fortschwingen, wenn nicht äußere Hindernisse, nämlich die Reibung am Aufhängepunkt und der Widerstand der Luft, die Amplitude immer kleiner machten und das P. endlich in der Gleichgewichtslage zur Ruhe brächten. Die Kraft, welche das P. in die Gleichgewichtslage zurückzukehren nötigt, ist nicht die ganze Schwerkraft, sondern nur ein Teil (eine Komponente) derselben. Stellt nämlich in der Figur c e die vertikal abwärts wirkende Schwerkraft vor, so kann man sich dieselbe nach dem Parallelogramm der Kräfte in zwei Seitenkräfte c f und c g zerlegt denken, von welchen erstere in die Richtung des Fadens, letztere in die Richtung der Berührungslinie des Kreisbogens, also in die Richtung der Bewegung fällt, welche der Pendelkörper im Punkt c besitzt; nur diese letztere kann die Ursache der Bewegung sein, während jene keinen weitern Erfolg hat, als den Faden gespannt zu erhalten. Zieht man nun c h senkrecht zu a b, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke c e g und c b h, daß sich die bewegende Kraft cg zur ganzen Schwerkraft verhält wie die Entfernung c h zur Pendellänge b c, oder daß die bewegende Kraft der Entfernung des Pendelkörpers von der Gleichgewichtslage des Fadens proportional ist. Wenn die Amplituden nur klein sind, d. h. 2-3° nicht überschreiten, so ist der bogenförmige Weg c a, den der Pendelkörper bis zu seiner Gleichgewichtslage zurückzulegen hat, von der geradlinigen Strecke c h nicht merklich verschieden; da nun die treibenden Kräfte in demselben Verhältnis stehen wie die zu durchlaufenden Wege, so leuchtet ein, daß das P. bis zur Gleichgewichtslage dieselbe Zeit braucht, gleichviel ob seine Amplitude 3 oder 2° oder nur wenige Bogenminuten oder -Sekunden beträgt. Bei kleinen Amplituden sind also alle Schwingungen des Pendels von gleicher Dauer (isochron). Dieses wichtige Gesetz des Isochronismus der Pendelschwingungen wurde von Galilei entdeckt. Bei kleinen Schwingungen ist demnach die Schwingungsdauer unabhängig von der Amplitude; sie wird (an einem und demselben Ort) nur durch die Länge des Pendels bedingt, und zwar verhalten sich die Schwingungszeiten ungleich langer P. wie die Quadratwurzeln aus den Pendellängen, d. h. die Schwingungszeiten verhalten sich wie 1, 2, 3..., wenn sich die Pendellängen wie 1, 4, 9... verhalten. Das mathematische P. besteht nur in der Idee; jedes wirklich ausgeführt P. ist ein physisches, materielles oder zusammengesetztes P. Dasselbe besteht gewöhnlich aus einer Stange, die an einer Schneide oder an einer dünnen, biegsamen Stahlfeder aufgehängt ist und nahe ihrem untern Ende als schweren Körper eine flache Linse trägt. Da jedes Massenteilchen des physischen Pendels um so schneller zu schwingen bestrebt ist, je näher es dem Aufhängungspunkt liegt, und da doch alle Teilchen durch ihren festen Zusammenhang gezwungen sind, gleichzeitig zu schwingen, so werden die dem Aufhängungspunkt näher gelegenen Teilchen in ihrer Bewegung verzögert, die entfernter gelegenen aber beschleunigt. Ein dazwischenliegender Punkt, dessen Bewegung weder verzögert noch beschleunigt wird, der vielmehr genau so schwingt, wie es sein Abstand vom Aufhängungspunkt fordert, heißt der Schwingungspunkt, und sein Abstand vom Aufhängungspunkt, die reduzierte Pendellänge, gibt die Länge desjenigen mathematischen Pendels an, welches dieselbe Schwingungsdauer hat wie das gegebene physische. Für das physische P. gelten, wenn man unter der Länge desselben die reduzierte Pendellänge versteht, dieselben Schwingungsgesetze wie für das mathematische. Vertauscht man bei einem physischen P. den Schwingungspunkt mit dem Aufhängungspunkt, so schwingt es in beiden Lagen gleich schnell. Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich die reduzierte Pendellänge leicht bestimmen; man bedient sich hierzu des von Bohnenberger vorgeschlagenen und von Kater angewendeten Reversionspendels, an dessen Stange sich außer der gewöhnlichen Aufhängungsachse noch eine zweite verschiebbare befindet; letztere wird durch Probieren in die Lage gebracht, daß das P. an ihr hängend genau so viel Zeit zu einer Schwingung braucht wie vorher, als es an der ersten Aufhängungsachse hing. Die reduzierte Pendellänge ist dann gleich dem Abstand der beiden Aufhängungsschneiden. Schon Huygens hatte vorgeschlagen, die Länge des Sekundenpendels, d. h. eines Pendels, welches in einer Sekunde eine Schwingung vollendet, als Einheit des Längenmaßes zu wählen. In England wurde dieser Vorschlag insofern zur Ausführung gebracht, als man das Verhältnis des Yards zur Länge des Londoner Sekundenpendels gesetzlich feststellte. Die zur Zeit der französischen Revolution zur Einführung eines neuen Maßsystems niedergesetzte Kommission verwarf jedoch diese Idee, weil eine solche Einheit ein fremdes Element, die Zeit, enthalte, und adoptierte bekanntlich als Einheit das Meter als den 40millionten Teil eines Erdmeridians.

Die Schwingungsdauer t eines Pendels wird ausgedrückt durch die Formel t = π sqrt(l/g) ^[img], worin l die Pendellänge, g die Beschleunigung der Schwere (Acceleration), d. h. die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers am Ende der ersten Fallsekunde, und Pi die Zahl 3,14159, d. h. das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, bezeichnet. Die Beschleunigung der Schwere, welche als Maß für die Anziehungskraft der Erde anzusehen ist, läßt sich aus dem freien Fall selbst, weil diese Bewegung zu rasch ist, nicht mit Sicherheit ermitteln; kennt man aber die Länge des Sekundenpendels, so kann man g mit großer Genauigkeit aus obiger Formel berechnen. So beträgt z. B. nach Bessel zu Berlin die Länge des Sekundenpendels 994,26 mm, und daraus ergibt sich für Berlin g = 9,8125 m. Nun ist aber die Länge des Sekundenpendels verschieden für verschiedene Orte der Erdoberfläche, und zwar nimmt sie zu vom Äquator nach den Polen hin. Folgende Tabelle gibt die Resultate von Sabines Pendelmessungen:

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Orte Breite Länge des Sekundenpendels in engl. Zollen

St. Thomas 0° 24' 41'' 39,012

Trinidad 10 38 56 N. 39,019

Bahia 12 59 21 S. 39,024

Jamaica 17 56 7 N. 39,035

New York 40 42 43 N. 39,101

London 51 31 8 N. 39,139

Drontheim 63 25 54 N. 39,174

Grönland 74 32 19 N. 39,203

Spitzbergen 79 43 68 N. 39,215

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