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Parallelenaxiom
Kolonie ansässig ist, 200 Pesos fuertes, freie Passage für alle Einwanderer, welche kommen, um sich auf der Kolonie niederzulassen, Befreiung der Kolonie von allen Abgaben und Steuern auf '5 Jahre und sämtliche Vorrechte, welche sonst Einwanderern Zugesichert sind. Das in einer solchen Kolonie angelegte Kapital muß mindestens 25,000 Pesos betragen. Für die nächsten 10 Jahre soll eine Summe von 2 Mill. Pesos in jährlichen Posten von 200,000 Pesos zur Hebung von Ackerbau und Industrie verwendet werden. Bei der Landwirtschaft kommen Tabak, Kaffee, Zuckerrohr, Bananen, Mandioka, Reis, Luzerne, Mais, Ananas, Orangen, Zitronen, Wein, Indigo in Betracht, bei der Industrie wollene und baumwollene Gewebe, Öle, Konserven, Mehl, Zigarren, Wein. Die Einfuhr aller Maschinen ist während der nächsten 10 Jahre zollfrei. Jene Prämien werden auf den mindestens alle zwei Jahre zu veranstaltenden Landesausstellungen verteilt. Engländer und Franzosen haben sich bereits am obern Parana große Striche wertvollen Landes gesichert. - Zur Litteratur: Vgl. Bourgade la Dardya, 1.6 I>. (Par. 1889); Campos, Os ^aich'g. ä. 1a ^.Zuncion (Buenos Aires 1888); Kreuth, Aus den La Plata-Staaten (Wien 1891); Pfotenhauer, Missionen der Jesuiten in P. (Gütersloh 1891 ff., 3 Tle.).
Parallelenaxiom (Axiom XI, nach der j Mschen^ Stellung, welche seit Gregory ^1703^ in der Ausgaben des Euklid ^Ausnahmen: Peyrand 1814; August 1826^ üblich) lautet: Zwei Gerade (derselben Ebene), welche von einer dritten so geschnitten werden, daß die innern Winkel an derselben Seite der Schneidenden zusammen kleiner als 2 Rechte sind, schneiden sich, genügend verlängert, an eben dieser Seite. Hieraus folgt die gewöhnliche Fassung als Satz: Durch einen Punkt ? außerhalb einer Geraden6 läßt sich (in der durch ? und 6 bestimmten Ebene) nur eine 6 Nichtschneidende (Parallele) ziehen.
Der Grund, weshalb gerade dieses Axiom von jeher Anstoß erregt hat, ist folgender: Die Axiome 1-9 sind rein logisch, 10 und 12 anschaulich; 11 ist weder logisch noch anschaulich. Das Schneiden kann, wenn die Winkelsumme nahe an 2 Rechte kommt, thatsächlich nicht mehr beobachtet werden, das Nichtschneiden ist niemals anschaulich festzustellen. Das P. ist unzweifelhaft, wie schon Proklos, der bedeutendste Erklärer des Euklid im Altertum, bemerkte, hervorgegangen aus dem Umkehren des (scheinbar) anschaulichen Satzes: In jedem Dreieck betragen 2 Winkel zujammen weniger als 2 Rechte, da alle 3 zusammen erst gleich 2 Rechten sind. Der Satz über die Winkelsumme im Dreieck wird streng aus dem P. abgeleitet, indem man durch die Spitze des Dreiecks die Parallele zur Grundlinie zieht; umgekehrt folgt aus ihm jenes. Auf dem P. beruht es, daß Parallele überall denselben Abstand voneinander haben, die »Breite« des zwischen ihnen liegenden "Streifens -.
Zwei Streifen sind nur durch die Breiten unterscheidbar, da die Parallelen, wie alle Geraden, und somit auch der Streifen, sich in der Länge gleichförmig nach beiden Seiten ins Unendliche ausdehnen. So oft die Breite eines Streifens in der Breite eines andern enthalten ist, so oft ist auch der erste Streifen im zweiten enthalten; dies Verhältnis überträgt sich auf alle entsprechenden Querstrecken, d. h. solche, welche die die Streifen begrenzenden Parallelen unter gleichen Winkeln schneiden. Somit beruht auf dem P. auch unsre Ahnlichkeitslehre sowie die Art und Weise, wie Winkel und Längenmaß zusammenhängen (Pythagoras; Trigonometrie); ferner die
Möglichkeit von Parallelogrammen, d. h. von Vierecken ,, in denen die Gegenseiten gleich und parallel sind, und somit auch unsre Mechanik (Parallelogramm der Kräfte).
Sehr zahlreich find die Versuche, das P. durch anschaulichere Sätze zu ersetzen: durch 3 Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen, ist stets ein Kreis möglich (Bolyai). Durch jeden Punkt im Innern eines Winkels läßt sich eine Gerade ziehen, welche beide Schenkel schneidet (Legendre); sind in einem Viereck drei Winkel rechte, so ist es auch der vierte (Simon). Gauß erkannte schon um 1792 im P. eine Vrfahrungsthatsache und also die Unmöglichkeit eines strengen Beweises. Seiner Überzeugung hat er, außer in Briefen an Schumacher und Bessel, nur in zwei Rezensionen in den »Göttinger gelehrten Anzeigen vom 26. April 1816 und 28. Okt. 1822 Ausdruck verliehen. Die erste dieser Anzeigen enthält den sichern Beweis, daß Gauß schon damals mit der nicht-euklidischen Geometrie völlig vertraut gewesen ist. Gauß hat seinen Jugendfreund Wolfgang Bolyai und dadurch auch dessen Sohn Johann beeinflußt, vielleicht auch Lobatschewsky. Letzterer veröffentlichte in einem Vortrag zu Kasan die erste Geometrie, welche unser P. fallen läßt. Unabhängig von Lobatschewsky folgten 1832 die Volyais, im Gedankengang und in den Resultaten völlig mit Lobatschewsky übereinstimmend.
Zur Erläuterung des Parallelenaxioms und der Ansichten von Gauß, Lobatschewsky und den Volyais diene folgendes: Es sei (Fig. 1) 66 eine Gerade, ^
Fig. i.
ein Punkt außerhalb 6 6. Man ziehe durch ^^ die Gerade^ 1^ 6 6; diese teilt die Ebene in zwei kongruente und symmetrische Teile und die Gerade 66 in zwei ebensolche Strahlen L 8 und V 8'. Um ^^ drehe sich in jeder Halbebene ein Strahl, von der Anfangslage ^^ L ausgehend. Anfangs wird dieser die Gerade 6 6 in den Punkten 8, li. :c., bez. 8" 1^ :c. schneiden, welche immer weiter und weiter von L abrücken. Ausgezeichnet sind die Lagen ^.^. ^^ und ^.1", senkrecht auf ^U, in welchen ^.^ und ^^ I" eine einzige Gerade 1^^^ bilden, und jenseit deren der rechte Strahl nicht mehr rechts, der linke nicht mehr links schneidet. Auch in der ausgezeichneten Lage müßte einem etwanigen Schnittpunkt H rechts der symmetrisch gelegene ü^ links entsprechen, da man durch Wenden um ow Achse ^^ 13 die rechte und die linke Seite der Figur zur Deckung bringen kann. Es sind nun zwei Hauptfälle denkbar, von denen sich mit unsrer Anschauung allerdings nur der erste verträgt.' I. Hund somit auch H^ existiert nicht; dann schneiden irgend zwei Gerade, die auf derselben dritten senkrecht stehen, einander nicht. Zunächst läßt sich dies von allen Geraden beweisen, welche auf ^.V senkrecht stehen. Halbiert man nämlich .4. V in N^ und zieht durch N 0 (^ senkrecht auf ^^ L, so läßt sich der Streifen zwischen 6 6 und 0 (^ auf den Streifen zwischen d! 0^ und ^^ I" durch Wenden oder durch Schieben legen; es müßte somit jede dieser drei Ge-
