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Geometrische Progression - Geoplastik.

folgenden Schöpfung der Differentialrechnung durch den Deutschen Leibniz (1646-1716) und den Engländer Newton (1642-1727). Auf der von diesen Neuern eingeschlagenen Bahn schritten unzählige andre fort. Wir nennen die acht Mitglieder der Familie Bernoulli, Leonhard Euler (1707-83), den Begründer der analytischen Trigonometrie, Cotes (1682-1716), dessen Name in der Lehre von der Kreisteilung fortlebt, Clairaut (1713-65), welcher zuerst über doppelt gekrümmte Kurven schrieb, Parent (1666-1716), der des Cartesius G. von der Ebene auf den Raum ausdehnte, Cramer (1704-52), der ein meisterhaftes Lehrbuch der Kurventheorie lieferte, sowie Maclaurin (1698-1746), Simson (1687-1768) und Stewart (1717-85) als Vertreter der synthetischen G. Der Schweizer Lambert (1728-77) bearbeitete wissenschaftlich die Perspektive. An der Schwelle des 19. Jahrh. treten uns entgegen Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833) und Monge (1746-1818), der Begründer der deskriptiven G. Um jene Zeit begann jene schon früher vorhandene Spaltung der Raumlehre in synthetische und analytische G. bestimmtere Formen anzunehmen. Während Carnot (1753-1823), Poncelet (1788-1867), Steiner (1796-1863), v. Staudt (1798-1868) und M. Chasles vor allen die erstere Richtung pflegten, ward auch die analytische Richtung nicht vernachlässigt. Möbius (1827) schrieb seinen "Baryzentrischen Kalkül", der neue Bahnen für jene eröffnete; in einer Reihe von Werken lehrte Plücker (1801-68) die Theorie der algebraischen Kurven und Oberflächen allgemein behandeln, und durch eine Reihe schwieriger zahlentheoretischer Untersuchungen gelang es Poinsot (1777-1859), die Stereometrie durch vier neue regelmäßige Körper, die sogen. Sternpolyeder, zu bereichern. In der neuesten Zeit hat sich der erwähnte Unterschied zwischen synthetischer und analytischer G. zu verwischen begonnen, besonders infolge der zusammenfassenden Arbeiten von Clebsch (1833-72). Die Geodäsie verdankte dem von Newton ausgehenden Streit über die eigentliche Gestalt der Erde neue Anregung. Die dadurch veranlaßten Gradmessungen, unter denen besonders die von Maupertuis (1698-1759) und Bouguer (1698-1758) veranstalteten hervorragen, nötigten zur Verbesserung der vorhandenen und zur Erfindung neuer Hilfsmittel; die theoretische Seite der Wissenschaft fand reiche Förderung durch Männer wie Oriani (1752-1832), Gauß (1777-1855) und Bessel (1784-1846). Was diese Disziplin zu leisten vermag, davon liefert die gegenwärtig in der Vollendung begriffene europäische Gradmessung das sprechendste Zeugnis.

[Litteratur.] Die Elementargeometrie behandeln: Kunze, Lehrbuch der G. (2. Aufl., Jena 1851); Lübsen, Ausführliches Lehrbuch der G. (12. Aufl., Leipz. 1885); Schlömilch, Grundzüge einer wissenschaftlichen Darstellung der G. des Maßes (6. Aufl., das. 1883, 2 Tle.); Baltzer, Die Elemente der Mathematik, Bd. 2 (6. Aufl., das. 1883). Für Trigonometrie seien erwähnt die Lehrbücher von Dienger (3. Aufl., Stuttg. 1867), Lübsen (14. Aufl., Leipz. 1884), Brockmann (2. Aufl., das. 1880); für darstellende G. die Lehrbücher von Gugler (4. Aufl., Stuttg. 1880), Klingenfeld (Nürnb. 1871-74, 2 Bde.), Fiedler (3. Aufl., Leipz. 1883), Schlesinger (Wien 1870), v. Peschka (das. 1883-84, 3 Bde.), Wiener (Leipz. 1884 ff., 2 Bde.). Unter dem großen Reichtum von Lehrbüchern der analytischen G. mögen hervorgehoben werden: Fort und Schlömilch, Lehrbuch der analytischen G. (5. Aufl., Leipz. 1883-86, 2 Bde.); Joachimsthal, Elemente der analytischen G. der Ebene (2. Aufl., Berl. 1871); Salmon, Analytische G. der Kegelschnitte (deutsch von Fiedler, 4. Aufl., Leipz. 1878); Derselbe, Analytische G. der Kurven im Raum und der algebraischen Flächen (3. Aufl., das. 1880), letztere zwei umfassende Handbücher, welche besonders die neuern Anschauungen berücksichtigen; Baltzer, Analytische G. (das. 1882). Die neuere G. endlich behandeln: v. Staudt, G. der Lage (Nürnb. 1860); Reye, G. der Lage (2. Aufl., Hannov. 1877-1880, 2 Tle.); Zech, Höhere G. in ihrer Anwendung auf Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung (Stuttg. 1856); Chasles, Traité des sections coniques (Par. 1865); Cremona, Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven (a. d. Ital. von Curtze, Greifsw. 1865); Steiner, Vorlesungen über synthetische G. (Leipz. 1867, 2 Tle.); Gretschel, Organische G. (das. 1868); Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung etc. (das. 1880). Für ein zusammenhängendes Studium der analytische und synthetische Betrachtungsweisen zusammenfassenden geometrischen Auffassung eignen sich am besten die klassischen Lehrbücher von Hesse: Ebene G. der geraden Linie und des Kreises (Leipz. 1865) und Analytische G. des Raums (3. Aufl., das. 1877); Clebsch, Vorlesungen über G. (das. 1876). Die Geschichte der G. behandelt Chasles in seinem "Aperçu historique" (Par. 1837, 2. Aufl. 1875; deutsch von Sohnke, Halle 1839); für die neuern Fortschritte der Wissenschaft ist desselben Autors "Rapport sur les progrès de géométrie" (Par. 1870) zu vergleichen. Für die ältere Geschichte der G. sind maßgebend: Bretschneider, Die G. und die Geometer vor Euklides (Leipz. 1870); Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (das. 1880). Wer schließlich die neuern Versuche der G., sich von der gewöhnlichen Raumanschauung zu emanzipieren, d. h. die nicht Euklidische G., kennen lernen will, greift am besten zu folgenden beiden Schriften: Frischauf, Absolute G. (Leipz. 1872); Derselbe, Elemente der absoluten G. (das. 1876); vgl. ferner: J. C. ^[Johann Carl] Becker, Abhandlung aus dem Grenzgebiet der Mathematik und der Philosophie (Zürich 1870); Killing, Die nicht euklidischen Raumformen (Leipz. 1885). Alle in das Gebiet der praktischen G. einschlagenden Fragen behandeln Bauernfeinds "Elemente der Vermessungskunde" (6. Aufl., Stuttg. 1879).

Geometrische Progression, s. Reihen.

Geometrischer Ort, eine Linie oder Fläche, deren sämtliche Punkte eine gewisse Bedingung erfüllen. So ist z. B. die Ellipse der geometrische Ort aller der Punkte, deren Entfernungen von zwei gegebenen Punkten eine bestimmte Summe haben.

Geomontographie (griech.-lat., "Erd- und Bergdarstellung"), die von Bauerkeller erfundene Kunst der Darstellung geprägter oder mehrfarbig gedruckter Reliefkarten.

Geonomie (griech.), Lehre von den Erdarten; Erdbaukunde; Geonom, Erdbaukundiger.

Geophagen (griech.), Erdeesser; Geophagie, das Erdeessen; über eßbare Erden s. Erden.

Geophysik (griech., "Erdphysik"), die Lehre von den im engern Sinn so genannten physischen Erscheinungen am festen Erdkörper, so Eigenwärme des Erdkörpers, seine Dichtigkeit, Erdmagnetismus etc. S. Erde.

Geoplástik (griech.), die Lehre von Erhebungen und Senkungen der Erdoberfläche und der dadurch bedingten Gestaltung derselben; Geoplastiker, Verfertiger von derartigen Darstellungen (Reliefkarten etc.).