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Determination - Detestieren.

halten, wenn man b durch k ersetzt. Die Zähler von x und y sind daher ebenfalls D., und zwar ist der Zähler von x gleich ^[img], der Zähler von y aber gleich ^[img]. Ähnlich ist es auch bei n Gleichungen mit n Unbekannten. Als Beispiel mögen die vier Gleichungen

a1x + b1y + c1z + d1t = k1

a2x + b2y + c2z + d2t = k2

a3x + b3y + c3z + d3t = k3

a4x + b4y + c4z + d4t = k4

^[a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1}t = k_{1}

a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2}t = k_{2}

a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z + d_{3}t = k_{3}

a_{4}x + b_{4}y + c_{4}z + d_{4}t = k_{4}]

mit den Unbekannten x, y, z, t dienen. Durch das gewöhnliche Eliminationsverfahren, bei welchem man aber alle gemeinschaftlichen Faktoren entfernen muß, erhält man x, y, z und t in Form von Brüchen, welche als Nenner den Ausdruck haben:

a1b2c3d4 - a1b2c4d3 - a1b3c2d4 + a1b3c4d2

+ a1b4c2d3 - a1b4c3d2 - a2b1c3d4 + a2b1c4d3

+ a2b3c1d4 - a2b3c4d1 - a2b4c1d3 + a2b4c3d1

+ a3b1c2d4 - a3b1c4d2 - a3b2c1d4 + a3b2c4d1

+ a3b4c1d2 - a3b4c2d1 - a4b1c2d3 + a4b1c3d2

+ a4b2c1d3 - a4b2c3d1 - a4b3c1d2 - a4b3c2d1,

^[a_{1}b_{2}c_{3}d_{4} - a_{1}b_{2}c_{4}d_{3} - a_{1}b_{3}c_{2}d_{4} + a_{1}b_{3}c_{4}d_{2}

+ a_{1}b_{4}c_{2}d_{3} - a_{1}b_{4}c_{3}d_{2} - a_{2}b_{1}c_{3}d_{4} + a_{2}b_{1}c_{4}d_{3}

+ a_{2}b_{3}c_{1}d_{4} - a_{2}b_{3}c_{4}d_{1} - a_{2}b_{4}c_{1}d_{3} + a_{2}b_{4}c_{3}d_{1}

+ a_{3}b_{1}c_{2}d_{4} - a_{3}b_{1}c_{4}d_{2} - a_{3}b_{2}c_{1}d_{4} + a_{3}b_{2}c_{4}d_{1}

+ a_{3}b_{4}c_{1}d_{2} - a_{3}b_{4}c_{2}d_{1} - a_{4}b_{1}c_{2}d_{3} + a_{4}b_{1}c_{3}d_{2}

+ a_{4}b_{2}c_{1}d_{3} - a_{4}b_{2}c_{3}d_{1} - a_{4}b_{3}c_{1}d_{2} - a_{4}b_{3}c_{2}d_{1},]

^[Berichtigung: das letzte Glied müßte addiert, nicht subtrahiert werden]

welchen man die Determinante der Größen

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

a4 b4 c4 d4

^[a_{1} b_{1} c_{1} d_{1}

a_{2} b_{2} c_{2} d_{2}

a_{3} b_{3} c_{3} d_{3}

a_{4} b_{4} c_{4} d_{4}]

nennt und dadurch bezeichnet, daß man die vorstehende Zahlengruppe links und rechts durch einen Vertikalstrich einschließt. Die Zähler von x, y, z und t sind ebenfalls D., und zwar erhält man die vier Zähler, wenn man im Nenner der Reihe nach a, b, c, d durch k ersetzt. - Was das Bildungsgesetz der Determinante betrifft, so besteht letztere aus 24 Gliedern, von denen 12 das Zeichen plus, 12 das Zeichen minus haben. Erstes Glied ist das Produkt a1b2c3d4 ^[a_{1}b_{2}c_{3}d_{4}], in welchem die Indices in der natürlichen Reihenfolge 1 2 3 4 stehen. Aus diesem ersten Glied, welches das Pluszeichen hat, erhält man alle andern, wenn man die vier Indices auf alle möglichen Arten versetzt (permutiert). Da die Anzahl der Permutationen von 4 Elementen gleich 1 . 2 . 3 . 4 = 24 ist, so hat unsre Determinante 24 Glieder. Man kann nun die sämtlichen Permutationen durch successive Vertauschung von je 2 Indices bilden, und ein Glied hat das Zeichen plus, wenn es aus dem ersten Glied a1b2c3d4 ^[a_{1}b_{2}c_{3}d_{4}] hervorgeht durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen je zweier Indices, dagegen das Zeichen minus, wenn die Anzahl dieser Vertauschungen ungerade ist. Es hat also im Ausdruck unsrer Determinante das Glied a3b4c1d2 ^[a_{3}b_{4}c_{1}d_{2}] das Pluszeichen, denn man erhält aus der Reihenfolge 1 2 3 4 durch Vertauschung von 1 mit 3 und von 2 mit 4, also durch zwei Vertauschungen, die gewünschte Folge 3 4 1 2. Dagegen hat a4b3c1d2 ^[a_{4}b_{3}c_{1}d_{2}] das Zeichen minus, denn man hat drei Vertauschungen, 1 gegen 4, dann 1 gegen 3 und noch 3 gegen 2, vorzunehmen, um aus 1 2 3 4 der Reihe nach 4 2 3 1, 4 2 1 3 und endlich 4 3 1 2 zu erhalten. - Leibniz gebührt das Verdienst, zuerst auf die D. aufmerksam gemacht zu haben. Die Anwendung dieser Funktionen ist aber nicht beschränkt auf das oben besprochene Problem der Lösung eines Systems linearer Gleichungen. Die wirkliche Ausführung der Rechnung in Determinantenform würde sogar bei Zahlengleichungen, wenn deren Anzahl einigermaßen beträchtlich ist, wenig zu empfehlen sein. Vielmehr kommen D. in den verschiedensten Gebieten der Mathematik vor, und ihr Hauptnutzen besteht darin, daß sie eine symbolische Darstellung der Resultate komplizierter Rechnungen gestatten, ohne daß es der wirklichen Ausführung bedarf, während es möglich ist, aus den symbolischen Formen weitere Schlüsse zu ziehen, damit zu rechnen etc. Zu dem Zweck muß man natürlich die Eigenschaften der D. kennen, über welche die Lehrbücher nachzulesen sind. Vgl. Diekmann, Einleitung in die Lehre von den D. (Essen 1876); Baltzer, Theorie und Anwendung der D. (5. Aufl., Leipz. 1882); Günther, Lehrbuch der Determinantentheorie (2. Aufl., Erlang. 1877).

Determination (lat.), Bestimmung, logische Operation, vermöge deren einem Allgemeinbegriff bestimmende Merkmale hinzugefügt werden, wodurch man zu einem dem Inhalt nach reichern, dem Umfang nach jenem untergeordneten Begriff gelangt. Die Logik drückt den Grundsatz, daß ein durch ein bestimmtes Merkmal schon determinierter Begriff ohne Widerspruch nicht auch durch das entgegengesetzte Merkmal bestimmt werden kann, durch den Satz des ausgeschlossenen Dritten (principium exclusi medii inter duo contradictoria) oder den Satz der durchgängigen Bestimmbarkeit (principium omnimodae determinationis) aus, welcher also lautet: Von zwei entgegengesetzten Bestimmungen, wenn sie überhaupt auf einen Begriff sich beziehen, kann in derselben Beziehung nur die eine ihm beigelegt werden, während die andre ihm abzusprechen ist.

Determinieren (lat.), bestimmen, entscheiden; determiniert, bestimmt, entschlossen, entschieden; determinativ, bestimmend.

Determinismus (lat.), im allgemeinen ein Bestimmtsein durch Gründe, in besonderer Anwendung auf das menschliche Wollen die Abhängigkeit des letztern von Motiven der Intelligenz. In letzterm Sinn steht der D. ebenso dem Indeterminismus, welcher die gänzliche Unabhängigkeit des Wollens von Gründen jeder Art, wie dem Fatalismus gegenüber, welcher die Abhängigkeit des Wollens von außerhalb der Intelligenz gelegenen Gründen lehrt. Jener, der auch transcendentale Freiheit heißt, erklärt, indem er jeden bestimmenden Einfluß von Gründen jeder Art auf das Wollen, auch den der Vernunft und der Einsicht, in Abrede stellt, damit auch jede Leitung und Vervollkommnung des Wollens durch Erziehung und Unterricht für unmöglich. Dieser, indem er jeden Einfluß der Intelligenz auf das Wollen verwirft, hebt nicht nur, wie es seine Absicht ist, die Freiheit des Wollens, sondern das Wollen selbst auf, dessen Unterschied vom bloßen Streben und Begehren eben darin besteht, intelligentes, d. h. mit der Vorstellung der Erreichbarkeit des Begehrten verbundenes, Streben zu sein. Der D., indem er das Wollen einerseits bloßer Naturgewalt entzieht, anderseits dem Kausalgesetz der Motivierung durch Gründe der Intelligenz unterwirft, befreit von der Knechtung durch äußern Zwang und ermöglicht jene Herrschaft der Vernunft über das Wollen, worin die wahre (d. h. die sittliche) Willensfreiheit (s. Wille) besteht. Der Vorwurf, daß der D. die Zurechnung der That und die persönliche Verantwortung aufhebe, ist unbegründet; derselbe trifft vielmehr die beiden Gegensätze desselben: den Indeterminismus, weil er nur blindes, grundloses Wollen (d. h. Willkür, Laune), den Fatalismus, weil er kein (wirkliches) Wollen, sondern nur durch physische Reize erzwungenes Begehren kennt. Determinist, einer, der dem D. huldigt.

Deterrieren (lat.), abschrecken; Deterrition, Abschreckung durch Strafandrohung.

Detestieren (lat.) verwünschen, verfluchen, verabscheuen; Detestation, Anrufung jemandes, besonders