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Meyers Konversationslexikon

Autorenkollektiv, Verlag des Bibliographischen Instituts, Leipzig und Wien, Vierte Auflage, 1885-1892

Schlagworte auf dieser Seite: Logarithmus

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Logarithmus.

nenten. Sucht man z. B. ^[img], so hat man zunächst log. 76 = 1,8808136, mithin log. ^[img] = 1/3.1,8808136 = 0,6269879 und also ^[img] = 4,235824. Die in diesen Beispielen benutzten Logarithmen sind gemeine oder Briggssche, d. h. Logarithmen mit der Basis 10. Dieselben haben folgende Eigenschaften: 1) Die Logarithmen der Zahlen 1, 10, 100, 1000 etc. sind ganze Zahlen, nämlich log. 1 = 0, log. 10 = 1, log. 100 = 2, log. 1000 = 3 etc., weil 10^{0} = 1, 10^{1} = 10, 10^{2} = 100, 10^{3} = 1000 ist. Auch die Logarithmen der Zahlen 0,1, 0,01 etc. sind ganze und zwar negative Zahlen, nämlich log. 0,1 = -1, log. 0,01 = -2, log. 0,001 = -3 etc., weil 10^{-1} = 0,1, 10^{-2} = 0,01 ist, etc. 2) Die Logarithmen aller ganzen Zahlen außer den genannten sind irrationale Zahlen; sie bestehen aus einer ganzen Zahl, der Charakteristik oder Kennziffer, und einem Dezimalbruch, der Mantisse. Letztere entnimmt man aus den Logarithmentafeln; die Charakteristik aber findet man nach folgenden Regeln: 1) Für alle Zahlen, welche größer als die Einheit sind, ist die Charakteristik um eine Einheit kleiner als die Anzahl der ganzen Stellen. Weil also z. B. 1295 eine vierstellige Zahl, 12 aber eine zweistellige ist, so hat der L. der erstern 3, der der letztern 1 als Charakteristik, und es ist log. 1295 = 3,1122698, dagegen log. 12,95 = 1,1122698. Die Mantisse bleibt dieselbe für alle Zahlen, die mit denselben geltenden Ziffern in gleicher Anordnung geschrieben werden; es haben also auch 12950, 129500 etc. die angegebene Mantisse. 2) Der L. eines echten Bruches ist negativ; es ist aber zweckmäßig, eine positive Mantisse mit negativer Charakteristik zu schreiben, z. B. log. 0,1295 = 0,112698 -1. Die negative Charakteristik eines echten Dezimalbruchs ist gleich der Anzahl der Nullen, die links vor der ersten geltenden Ziffer stehen, also log. 0,001295 = 0,1122698 -3. Um bei Subtraktion eines größern L. von einem kleinere eine positive Mantisse zu erhalten, vergrößert man die positive Charakteristik des Minuenden um so viel positive Einheiten, daß die Subtraktion ausführbar wird, bringt aber diese Einheiten als negative Charakteristik wieder in Abrechnung. Soll z. B. x = 125,97/819,35 berechnet werden, so hat man log. 125,97 = 2,1002671 und log. 819,35 = 2,9134695; statt dessen rechnet man aber

^[Liste]

log. 125,97 = 3,100 2671 -1

- log. 819,35 = 2,9134695

log. x = 0,1867976 -1,

also x = 0,153744.

Viele Rechner vermeiden das Subtrahieren eines L. von einem andern, indem sie statt dessen das Komplement des L., d. h. den durch Subtraktion des L. von 0 erhaltenen Rest, addieren. In unserm Beispiel hat das Komplement von 2,9134695 den Wert 0,0865305 -3. Beim Dividieren eines L. mit negativer Charakteristik muß man letztere so weit vergrößern, daß die Division in ihr aufgeht, während man vorn die gleich große Anzahl positiver Einheiten zusetzt. Um also ^[img] zu berechnen, setzt man log. 0,168 = 2,2253093 -3 (statt 0,2253093 -1), und die Division mit 3 gibt nun 0,7417698 -1, also ^[img] = 0,551785. Vielfach gibt man Logarithmen echter Brüche auch die negative Charakteristik -10 und eine entsprechende positive Charakteristik, schreibt also: log. 0,168 = 9,2253093 -10; die -10 läßt man auch häufig als selbstverständlich weg, z. B. bei Logarithmen der trigonometrischen Funktionen. An die Stelle des Komplements tritt bei dieser Schreibweise die dekadische Ergänzung, d. h. der Unterschied des L. und der Zahl 10.

Die große Wichtigkeit der Logarithmen für rasche und sichere Ausführung aller größern Multiplikationen und Divisionen, namentlich aber für das Potenzieren und Wurzelausziehen, geht schon aus den angegebenen Beispielen hervor. Leider ist der Gebrauch dieses Hilfsmittels noch lange nicht hinlänglich verbreitet. Nicht unwichtig ist für die Praxis die Wahl zweckmäßiger Logarithmentafeln. Bis vor kurzem wandte man fast ausschließlich Tafeln mit sieben Dezimalstellen an, wie solche besonders durch den Freiherrn G. v. Vega in Deutschland eingeführt worden sind. Neuere Tafeln dieser Art sind: Schrön, Siebenstellige gemeine Logarithmen (20. Aufl., Braunschw. 1886); v. Vega, Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch, bearbeitet von Bremiker (69. Aufl. von Tietjen, Berl. 1886). Für die meisten Zwecke genügen indessen weniger Stellen, wodurch die Rechnung wesentlich kürzer wird. Tafeln mit weniger Dezimalen sind: Bremiker, Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit sechs Dezimalstellen (10. Aufl., Berl. 1883); Derselbe, Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit fünf Dezimalstellen (4. Ausg., das. 1883); Lalandes Tafeln der fünfstelligen Logarithmen (Leipz. 1870); Schlömilch, Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln (9. Aufl. Braunschw. 1886). - Gewöhnlich genügen fünfstellige Tafeln vollständig, ja in nicht wenigen Fällen auch vierstellige, wie Wittstein, Vierstellige logarithmisch-trigonometrische Tafeln (Hannov. 1860).

Während man beim praktischen Rechnen immer die gemeinen Logarithmen anwendet, kommen in der Analysis die sogen. natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen vielfach vor, deren Basis eine irrationale Zahl, nämlich die Summe der unendlichen Reihe 2 + 1/2 + 1/(2.3) + 1/(2.3.4) + ... = 2,7182818... ist, welche man mit e bezeichnet. Man findet den gemeinen L. einer Zahl, wenn man den natürlichen mit 0,4342945, dem gemeinen L. von e, multipliziert, welche Zahl der Modulus der gemeinen Logarithmen heißt, und der natürliche L. ist gleich dem gemeinen, multipliziert mit 2,3025851.

Als Erfinder der Logarithmen gilt Lord John Napier, Baron von Merchiston ("Mirifici logarithmorum canonis descriptio", Edinb. 1611), nach welchem die natürlichen Logarithmen häufig Nepersche Logarithmen heißen, obwohl sie nicht mit den von Napier berechneten identisch sind. Unabhängig von Napier benutzte Jost Byrgi (s. d.) bei seinen Rechnungen selbstberechnete Logarithmen. Die gemeinen Logarithmen wurden zuerst von Briggs (s. d.) berechnet ("Arithmetica logarithmica", 1624). Um dieselbe Zeit haben sich Ursinus und Kepler, später Vlacq, Sharp, Gardiner u. a. mit der Berechnung genauer Logarithmentafeln beschäftigt; die vollständigsten derartigen Tafeln sind auf Anordnung der republikanischen Regierung von Frankreich unter Pronys Leitung hergestellt, aber nicht veröffentlicht worden. - Mit dem Namen Additions- und Subtraktions-Logarithmen (Gaußsche Logarithmen) bezeichnet man Tafeln zur bequemen Berechnung von log. (a ± b), wenn log. a und log. b bekannt sind. Dieselben sind zuerst von dem Italiener Leonelli 1803 veröffentlicht, aber erst durch Gauß (1812) in weitern Kreisen bekannt geworden. Vgl. Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaft, Kap. 5 (Leipz. 1876).