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Festigkeit
die an der konkaven liegenden eine Zusammen-
drückung, während in der Mitte einige Fasern exi-
stieren, welche gar keine Veränderung erleiden. Der
Bruch eines solchen Körpers beginnt also auf der
konvexen gespannten oder auf der konkaven kom-
primierten Seite, je nachdem die Zerreißung oder
die Zerdrückung leichter eintritt, und zwar tritt er
immer zuvörderst an den äußersten, am stärksten in
Anspruch genommenen Fasern auf. Sobald die
äußerste Faser nachgegeben hat, folgen auch die in-
nern. Wenn hiernach Körper mit ihrer Biegungs-
festigkeit widerstehen, so werden sie gleichzeitig auf
ihre Zug- und Druckfestigkeit in Anspruch genom-
men. Während bei der Belastung auf Zug nur die
Größe des Stabqucrschnitts von Einfluß auf die F.
ist, spielt bei der Beanspruchung auf Biegung auch
die Form des Querschnitts eine wesentliche Rolle.
Ein gerader prismatischer Balken, der eingespannt
oder auf Stützen aufgelagert ist und von Kräften
beansprucht wird, die sämtlich normal zu seiner
Achse aedichtet sind, wird sich durch den Einfluß
dieser Kräfte biegen; die Fasern auf der konvexen
Seite werden also gedehnt, die auf der konkaven
Seite zusammengedrückt. Dazwischen wird eine
Schicht auf der ganzen Länge des Stabes vorhan-
den sein, welche ihre ursprüngliche Länge behalten
hat, wo also die Fasern weder gedehnt, noch gedrückt
sind. Diese wird die neutrale Schicht oder ela-
stische Fläche genannt. Sie enthält sämtliche
Schwerpunkte der Stabquerschnitte und diese ins-
besondere in ihrem Zusammenhange bilden die ela-
stische Linie. Ferner unterscheidet man an einem
bestimmten Querschnitt senkrecht zur elastischen Linie
die neutrale Achse als die Schnittlinie des Quer-
schnitts mit der neutralen Schicht. In der neu-
tralen Achse des Querschnitts ist demnach die Zug-
und Druckspannung Null, auf der konvexen Seite
derselben herrscht zwischen den Materialfasern Zug-,
auf der andern Druckfpannung, und zwar sind diese
Spannungen den Abständen des Querschnittsele-
ments von der neutralen Achse proportional. Aus
dem Angegebenen folgt, daß die neutrale Achse des
Querschnitts stets durch den Schwerpunkt desselben
gehen muß. Wendet man die im Eingang erläuter-
ten allgemeinen Sätze aus den Fall der Biegung
an, so ergiebt sich direkt: 1) daß eine elastische Form-
änderung eintritt, also der Stab in seine anfäng-
liche Form nach dem Aufhören der Krafteinwirkung
zurückkehrt, folange die größte in den Querschnitten
auftretende Zug- oder Druckspannung kleiner
bleibt als der Tragmodul für Zug oder Druck;
2) daß eine bleibende Formänderung eintritt, wenn
die größte in den Querschnitten auftretende Zug-
oder Druckfpannung größer ist als der Tragmodul
für Zug oder Druck, und 3) daß der Stab zerbricht,
wenn die größte in den Querschnitten auftretende
Spannung auf der Zug- oder Druckfeite den Vruch-
modul für Zug oder Druck übersteigt.
Die maximale Spannung in einem Querschnitte
ist nun abhängig von dem Moment der äußern
Kräfte, die auf den Balken wirken, in Bezug aus
den betrachteten Querschnitt, ferner von der Form
des Querschnitts selbst und von dem Abstände der
äußersten Faserschicht von der neutralen Achse. Das
Moment der äußern Kräfte wiederum hängt ab von
der Größe der auf den Balken wirkenden Kräfte,
von der Art derselben, ob es konzentrierte, d. h. in
einem Punkte wirkende Lasten sind, oder ob die La-
sten gleickmäßig über Strecken des Balkens verteilt
sind, und von der Art und Weise, wie der Balten
festgehalten ist, d. h. ob er frei auf Stützen aufliegt,
oder einseitig oder auf beiden Seiten eingespannt
ist u. s. w. Demzufolge sind hier eine außerordent-
liche Zahl von Einzelfällen zu berücksichtigen, von
denen nur einige wenige, oft vorkommende ver-
gleichsweife angeführt werden mögen.
Am wenigsten vermag ein Balken zu tragen,
wenn er an seinem einen Ende unterstützt ist und
von der Last am andern Ende in Anspruch genom-
men wird. Bezeichnen wir seine Tragfähigkeit in
diesem Falle mit 1, so steigt dieselbe zu der vier-
fachen Größe (4), wenn er an beiden Enden unter-
stützt wird und die Last in der Mitte wirkt; die Trag-
fähigkeit nimmt den Wert 8 an, wenn der Balken
beiderseits festgeklemmt, also eingemauert ist. Außer-
dem ist zu berücksichtigen, ob die Last nur an einem
oder ob sie an mehrern Punkten wirkt, oder ob sie
über die ganze Länge des Balkens verteilt ist. In
letztern beiden Fällen steigert sich die Tragfähigkeit.
Sie erlangt gerade die doppelte Größe von der im
ersten Falle angegebenen, wenn die Last gleichmäßig
über die ganze Länge verteilt ist. Daher besitzt
ein einseitig festgeklemmter Balken die Tragfähig-
keit 2, ein beiderseits unterstützter die Tragfähig-
keit 8; ein beiderseits festgeklemmter hat die Trag-
fähigkeit 12. Ein ferneres sehr wichtiges Moment,
welches die Tragfähigkeit beeinflußt, ist die Ge-
stalt und die Länge der Körper. Bei Balken oder
Stangen von quadratischem oder rechteckigem Quer-
schnitt ist die Tragfähigkeit proportional der Breite,
dem Quadrat der Höhe und umgekehrt proportional
der Länge, d. h. ein Balken, der doppelt fo breit isl
als ein anderer, trägt unter sonst gleichen Umstän-
den das Doppelte, bei doppelter Höhe das Vierfache
und bei doppelter Länge die Hälfte. Unter Höhe
wird hier stets die Dimension verstanden, in deren
Richtung die Kraft wirkt, also bei horizontal liegen-
den Balken, welche durch einen Zug von oben nach
unten in Anspruch genommen werden, die senkreckte
Dimension. Wirkt dagegen der Zug in horizontaler
Richtung, so versteht man unter Höhe die horizon-
tale Ausdehnung u. s. w. Aus obigem folgt, daß
es stets vorteilhafter ist, die Höhe beträchtlicher zu
machen als die Breite, da diefe von bedeutend grö-
ßerm Einflüsse auf die Tragfähigkeit ist als letztere.
Nimmt man z. V. an, man habe zwei Stangen von
gleichem Querschnitt, z. V. 4 ^cin, der Querschnitt
der einen aber sei quadratisch, folglich jede Seite
^ 2 cm, während der Querschnitt der andern reckt-
eckig sei, also bei 1 cm Breite 4 cm Höhe habe, so
wird die Tragfähigkeit der quadratischen Stange
zu der der rechteckigen sich verhalten wie 2X2":
I X 42 oder wie 8:16; dies folgt unmittelbar aus
den vorhergegangenen Regeln. In der Praxis
läßt sich nun aber die Höhe im Verhältnis zur
Breite nicht beliebig steigern. So ist man beim An-
fertigen eines Balkens aus einem runden Stamm
genötigt, das Verhältnis der Höhe zur Breite mit
7:5 anzunehmen, wenn die größtmögliche Trag-
fähigkeit erreicht werden foll. Für den Fall aber,
daß man quadratifche oder runde Träger anwenden
müßte, gelten folgende Regeln:
Die Tragfähigkeit zweier quadratischer Balken
von verschieden großem Querschnitt verhält sich wie
die Kuben der Seiten; demnach trägt ein quadrati-
scher Balken von 2 cm Seite 8mal mehr, ein 1'olcher
von 3 cm Seite 27mal mehr als ein anderer von
1 cm Seite. Bei runden Trägern gilt dasselbe;
