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Aristoxenus - Arithmetische Zeichen

lichste philol. Bearbeitung verdankt Aristoteles erst im 19. Jahrh. Männern wie Brandis, Bonitz, Trendelenburg und Prantl.

Litteratur. Brandis, Handbuch der Geschichte der griech.-röm. Philosophie, Tl. 2, Abteil. 2: Aristoteles (Berl. 1853-57): Zeller, Philosophie der Griechen, Tl. 2, Abteil. 2 (3. Aufl., Lpz. 1879); Lewes, Aristotle (Lond. 1864; deutsch von Carus, Lpz. 1865); Grote, Aristotle (2 Bde., Lond. 1872; 2. Aufl. 1880); Grant, Aristoteles (deutsch von Imelmann, Berl. 1878); Heyder, Kritische Darstellung und Vergleichung der Aristotelischen und Hegelschen Dialektik, Bd. 1, Abteil. 1 (Erlangen 1845); Prantl, Geschichte der Logik im Abendlande, Bd. 1 (Lpz. 1855); Bonitz, Aristotelische Studien (Heft 1-5, Wien 1862-67); Kappes, Aristoteles-Lexikon (Paderb. 1894). Weiteres bei Überweg, Grundriß der Geschichte der Philosophie, Bd. 1 (7. Aufl., Berl. 1886).

Aristoxenus von Tarent, Schüler des Aristoteles, lebte in Athen um 350 v. Chr. Von seinen zahlreichen philos. Schriften sind nur kleinere Bruchstücke übrig (gesammelt bei C. Müller in den "Fragmenta historicorum Graecorum", Bd. 2, Par. 1848). Gleichzeitig ist aber A. einer der ältesten griech. Schriftsteller über Musik. Von seinen hierauf bezüglichen Werken sind die "Harmonika stoicheia" in drei Büchern, wenn auch lückenhaft und verderbt, erhalten geblieben. Dieselben wurden von Meursius (Leid. 1646) und mit lat. Übersetzung in Meiboms "Antiquae musicae scriptores" (2. Aufl., 2 Bde., Amsterd. 1652) herausgegeben und von Marquard (mit deutscher Übersetzung, Berl. 1869) kritisch untersucht. Die Bruckstücke eines Werkes über die Rhythmik, zuerst von Morelli (Vened. 1785) herausgegeben, wurden von Feußner (Hanau 1840) und Bartels (Bresl. 1854) kritisch bearbeitet. - Vgl. Westphal, A. von Tarent, Melik und Rhythmik des klassischen Hellenentums (Lpz. 1883; Bd. 2, hg. von Saran, ebd. 1893).

Aristus, s. Evarestus.

Aristyllus, griech. Astronom, aus Samos gebürtig, lebte um 290 v. Chr. zu Alexandria und bestimmte, wie man vermutet als einer der ersten, durch wirkliche Messungen die Örter der Fixsterne am Himmel. Sein Werk "Über die Fixsterne" ist verloren gegangen, ebenso sein Kommentar zum Aratus.

Arithmetik (arch.), deutsch Zahlenlehre, ist derjenige Teil der Mathematik, der sich mit den aus Einheiten gebildeten Zahlen (unstetigen Größen) und ihren Verbindungen beschäftigt. Im engern Sinne versteht man darunter die Lehre von der Rechnung mit bestimmten Zahlen, die mit Ziffern geschrieben werden. Man teilt die A. in die gemeine und die höhere A. Die gemeine A. umfaßt die bekannten vier Species der Rechenkunst in ganzen und gebrochenen Zahlen und ihre praktischen Anwendungen; ferner die Lehre von den Proportionen und Progressionen, die Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzeln, sowie die Rechnung mit Logarithmen. Die höhere A. oder Zahlenlehre im engern Sinne begreift die Untersuchung über die allgemeinen Eigenschaften der Zahlen ohne Rücksicht auf ein bestimmtes Zahlensystem, die Zerfällung der ganzen Zahlen in Faktoren, die Aussonderung der Primzahlen, die Kettenbrüche u. s. w. Ferner unterscheidet man die theoretische A., welche die Lehrsätze von den Verbindungen und Eigenschaften der Zahlen aufstellt und wissenschaftlich begründet, von der praktischen (technischen oder bürgerlichen), welche die Regeln und Vorteile der Kunst, sicher und möglichst schnell zu rechnen, mitteilt und schlechthin auch Rechenkunst (s. d.) genannt wird. Die numerische A., bei den Griechen Logistik genannt, lehrt die Rechnung mit bestimmten, durch Ziffern ausgedrückten Zahlen, im Gegensatze zur allgemeinen A. oder Buchstabenrechnung, die sich zur Bezeichnung unbestimmter Zahlen der Buchstaben bedient. Politische A. ist die Anwendung der A. auf die in der Verwaltung vorkommenden Verhältnisse, auf Berechnung der Lotterien, der Renten-, Versorgungs- und Versicherungsanstalten, wobei die Sterblichkeitsverhältnisse, die wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer in Betracht zu ziehen sind. (Vgl. Holzinger, Lehrbuch der politischen A., Braunschw. 1888.) Die juristische A. umfaßt die Anwendung der A. bei Rechtsfällen und fällt größtenteils mit der politischen A. zusammen. Die kaufmännische A. ist die Rechenkunst (s. d.) für das Geschäftsleben. Instrumentale A. nennt man die Rechnung mittels gewisser Werkzeuge, wohin die Rechentafel oder der Abakus, die Rechenstäbe, namentlich aber die Rechenmaschinen (s. d.) gehören.

Das Rechnen, das die Griechen von den Phöniziern und den Ägyptern gelernt hatten, war von dem jetzt gebräuchlichen durchaus verschieden und durch die überaus unbequeme Bezeichnungsart erschwert, so daß die wissenschaftliche A. bei den Alten auf einer niedern Stufe geblieben ist. Nur wenige arithmet. Schriften der Alten sind auf uns gekommen, von Euklides (das 5. und 7. bis 10. Buch seiner Elemente), von Archimedes (Sandrechnung und Kreismessung), von Nikomachus und Diophantus. Den wichtigsten Fortschritt der A. verdankt man den Indern, welche die Null und die jetzt allgemein gebräuchliche Zahlenschreibung erfunden haben. Auf Grund dieser Erfindung ist von den Arabern im 9. Jahrh. die heutige Art des Rechnens ausgebildet worden. Nach Einführung der neuen A. in Italien im 13. Jahrh. änderte sich allmählich die Gestalt der A.; erst im 16. Jahrh. wurde der Gebrauch der Decimalbrüche allgemeiner. Im 17. Jahrh. wurden die Logarithmen erfunden, der letzte epochemachende Fortschritt in der Technik des Rechnens. (S. Algebra.) - Vgl. Stolz, Vorlesungen über allgemeine A. (2 Bde., Lpz. 1885-86).

Arithmetisches Mittel, s. Mittel.

Arithmetische Zeichen (mathematische Zeichen). Das Zeichen der Addition ist + (plus), z. B. 5 + 4 ist 9; das der Subtraktion - (minus), hinter den Minuendus und vor den Subtrahendus, z. B. 10 - 3 ist 7; das der Multiplikation × (mal) oder ein Punkt (·), z. B. 4 × 5 oder 4 · 5 ist 20; das Zeichen der Division ist entweder ein horizontaler Strich, über dem der Dividendus und unter dem der Divisor steht, oder ein Doppelpunkt (:, d. h. geteilt durch) zwischen dem Dividendus (der voransteht) und dem Divisor, z. B. 24/4^[vgl. img] oder 24 : 4 ist 6. Verbindungen von Zahlen durch Rechnungszeichen, d. h. Formeln, mit denen gerechnet werden soll, werden als Parenthesen in Klammern eingeschlossen, z. B. (a + b - c) oder [a + b - c]. Die m^te Potenz von a wird durch a^m, die m^te Wurzel aus a durch ^[img] bezeichnet. ^[img] oder die imaginäre Einheit wird in i abgekürzt. Das Zeichen der Gleichheit ist =, wofür bei Verhältnissen auch wohl ::^[vgl. img] gesetzt wird; das Zeichen der Ungleichheit > und <; a > b heißt: a ist größer als b, hingegen a < b heißt: a ist kleiner als b. Das Zeichen ^[img] läßt es